文档介绍：Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse薆讲授内容袃备注芁第五讲腿第二章一元函数的连续性肃四个基本问题:连续性的证明;连续性的应用;一致连续性;§、连续性的证明蕿要证明一个函数在某区间上连续,只要证明在区间内任意一点,: 1o在处有定义;蚄 2o存在极限;:蒇1)定义证明:蒃,当时,有;薁2) 左、右极限证明:;3学时若点集的所有聚点都属于,则称为闭集.***3) 数列语言证明:袅,有;膂若存在,有,) 邻域的语言证明:,使得葿5) 连续函数的运算性质:四则运算、复合函数的连续性、螃反函数的连续性、?螁(1)在任意开区间内连续;袇(2)在任意闭区间上连续;螆(3),在和上分别连续;薃(4),(1)、(2),,使得,即,(3),则所给条件仅表明在处是左连续的,(4)(3)不同,此处为任意的,故此可推出(1)、(2).蚂例2证明Riemann函数艿在无理点上连续, 1o设为有理点,(为既约分数,),则莄由无理点的稠密性,无理点列,.但螂, 蚀即, 设为无理点,,,要,,,则,有肁.***(均为整数,给定后,)膆所以,,,充分小,使得不含有的点,即,,,,则仍为无理数,,,(为互质整数),则蚃(与为互质整数):,,当时,, 设函数在内有定义,:,所以当时,有袁,芈由的单调性知(1)芄所以,,当时,有螆令,得,芇(2)蒁而在内单调减,必有(3)荿(或在(1)中,令,得)蒈由(2)、(3)可得(右连续)肆类似可证(左连续)蒁所以在处连续,由的任意性,,且满足膀(1)具有介值性:(即:若,则位于,螅之间,使得)薁(2)对任意有理数,:(反证法)设在某一点处不连续,则薄,虽然时,,(例如右侧),薆由介值性条件,对每一个在,之间,使得螁因为,(2),知(闭集)莅即与矛盾. :在实轴上连续任何开集的逆像仍为开集.(即:设为轴上的开集,则在轴上为开集)聿证必要性要证为轴上的开集,即要证明: 葿,使得膄设在轴上连续,因为,所以膅既然为轴上的开集,所以蒀,使得羇据的连续性,对的邻域***,使得芄从而袁所以为开集虿充分性已知任何开集的逆像为开集羆,莄的逆像为开集节对,,使得***,由的任意性, 已知, 葿(1)求;衿(2)在定义域内是否连续?蒄解(1)当时, 薄当时,.