文档介绍：三角形四心1、三角形外心:三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。三角形的三条垂直平分线必交于一点已知:△ABC中,AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O求证:O点在BC的垂直平分线上证明:连结AO,BO,CO,∵DO垂直平分AB,∴AO=BO∵EO垂直平分AC,∴AO=CO∴BO=CO即O点在BC的垂直平分线上三角形的外心的性质:,,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合。;钝角三角形的外心在三角形外;=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC,∠AOB=2∠ACB,∠COA=2∠△ABC=abc/4R2、三角形的内心:三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。三角形三条角平分线必交于一点证明己知:在△ABC中,∠A与∠B的角平分线交于点O,连接OC求证:OC平分∠ACB证明:过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F∵AO平分∠BAC,∴OD=OF;∵BO平分∠ABC,∴OE=OF;∴OD=OF∴O在∠ACB角平分线上∴CO平分∠ACB性质:,,=2S/(a+b+c)△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/.∠BOC=90°+∠A/2∠BOA=90°+∠C/2∠AOC=90°+∠B/△=[(a+b+c)r]/2(r是内切圆半径)3、三角形的垂心:三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。三角形的三条高必交于一点已知:△ABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点O,连接CO并延长交AB于点F求证:CF⊥AB证明:连接DE∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB同旁,∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE(同弧上的圆周角相等)∵∠EAO=∠DAC∠AEO=∠ADC=90°∴△AEO∽△ADC∴AE/AD=AO/AC即AE/AO=AD/AC∴ΔEAD∽ΔOAC∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90°∴∠ACF+∠BAC=90°∴CF⊥AB三角形的垂心的性质:;直角三角形的垂心在直角顶点上;;或者说,,均在△ABC的外接圆圆上。4.△ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AO·OD=BO·OE=CO·、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。6.△ABC,△ABO,△BCO,△ACO的外接圆是等圆。,过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+,等于外心到对边的距离的2倍。,H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,