文档介绍：椭圆的参数方程
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复****回顾:
:
到两定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2 |)的动点的轨迹叫做椭圆。
:
,b,c的关系:
当焦点在X轴上时
当焦点在Y轴上时
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标准方程
图象
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
焦距
a,b,c关系
离心率
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称。
( a ,0 ),(0, b)
( b ,0 ),(0, a)
( c,0)
(0, c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
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问题、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
O
A
M
x
y
N
B
分析:
点M的横坐标与点A的横坐标相同,
点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.
而A、B的坐标可以通过
引进参数建立联系.
设∠XOA=φ
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问题、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
O
A
M
x
y
N
B
解:
设∠XOA=φ, M(x, y), 则
A: (acosφ, a sinφ),
B: (bcosφ, bsinφ),
由已知:
即为点M的轨迹参数方程.
消去参数得:
即为点M的轨迹普通方程.
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1 .参数方程是椭圆的参
数方程.
2 .在椭圆的参数方程中,常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
另外,
称为离心角,规定参数
的取值范围是
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φ
O
A
M
x
y
N
B
知识归纳
椭圆的标准方程:
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
x
y
O
圆的标准方程:
圆的参数方程:
x2+y2=r2
θ的几何意义是
∠AOP=θ
P
A
θ
椭圆的参数方程:
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
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【练****1】把下列普通方程化为参数方程.
(1)
(2)
(3)
(4)
把下列参数方程化为普通方程
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练****2:已知椭圆的参数方程为( 是参数) ,则此椭圆的长轴长为( ),短轴长为( ),焦点坐标是( ),离心率是( )。
4
2
( , 0)
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例2、如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线
l:x-y+4=0的距离最小.
x
y
O
P
分析1:
分析2:
分析3:
平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求.
小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决。
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