文档介绍：第卷第期杭州师范大学学报自然科学版..
年月.
周期环及其扩张
马彪
杭州师范大学理学院,浙江杭州
摘要:定义了周期环,,讨论周期环的一些基本性质,如周期环的商环、子环以
及‘,,给出周期环的一些扩张,并证明环的周期性与其上的幂级数环、广义矩
阵环、上三角矩阵环的.,一周期性是等价的.
关键词:周期环;一周期环;根;广义矩阵环;扩张
中图分类号:. : 文献标志码:
文章编号:———
基本性质
设是含单位元的结合环,,,和分别表示环中所有幂零元组成的集合,
的根, ,如果存在整数使得一
,如果中元素都是元.】证明了所有的环都是交换环.
如果存在两个不相等的正整数,使得一成立,
元,,周期环是环的推广,但周期环可以是不交换的,
的一个经典刻画由给出,其指出一个环是周期环当且仅当对任意的元素都存在一个正
整数和一个整系数多项式厂使得一.¨,一能够得到—
,而一又等价于”.因此,环是周期环当且仅当存在不同的正整数,使
,我们得到新的一类环,它包含了所有的周期环.
定义环叫做一周期环,如果对任意一个存在两个不同的正整数, 使得
一.
注该定义等价于说是一周期环当且仅当/是周期环.
例显然任何一个周期环都是周期环,,我们必
Ⅱ因为对每个正整数环都是局部环并且一
所以有Ⅱ一。.显然,/三三三Ⅱ。是一个环,因此是一个一周期
,⋯,,⋯其中。,如果存在不同的正整数,使得一,那么必有
/,时,在环中≠,因此不是周期环.
收稿日期:—
基金项目:杭州师范大学创新种子基金项目.
通信作者:马彪一,男,基础数学专业硕士研究生,主要从事代数研究.—:.
第期马彪:一周期环及其扩张
引理一周期环的同态像是.,一周期环.
证明设:—为环到环的满同态,,那么对任意的∈
,一丌,∈
.,一周期环知存在不同的正整数, 使得一∈.因此,一一丌州一
∈,即是一个一周期环.
引理环是,一周期环当且仅当对中任意的都存在正整数,尼使得—.
,那么对任意的存在不同的正整数,∈.不妨设
￡,那么—并且。—.因此,。—,由
归纳法易得一. .,.反过来,如果对任意的都存在正整数,矗使得~.
那么在商环/中有—”:,所以存在正整数和整系数多项式厂使得一
十
. ,存在不同的正整数,使得一一,也就是一∈.
推论一个环是周期环当且仅当是一周期环且是诣零的.
证明设是一个一周期环并且是诣零的,那么对任意的存在不同的正整数, 使得
一.∈,,如果是周期环,则是诣零的.
推论设尺是一个一周期环并且是除环,则是一个域.
, ,是一个域.
环的一个理想叫做约化