文档介绍：立体几何中的数量问题
二. 重点、难点:
1. 角度
(1)两条异面直线所成角
(2)直线与平面所成角
(3)二面角
2. 距离
(1)作垂线(2)体积转化
【典型例题】
[例1] PA、PB、PC两两垂直,与PA、PB所成角为45°,60°,求与PC所成角。
解:构造长方体

[例2] 正四棱锥S—ABCD中,AB=,SA=,M为SA中点,N为SC中点。
(1)求BN,DM所成角的余弦值;
(2)P、Q在SB、CA上,,求PQ与底面ABCD所成角的正切值。
解:(1)MEFD
H为SN中点

∴异面直线MD、BN所成角的余弦值为
(2)过P作PH//SO交BD于H ∴ PH⊥面ABCD
∴∠PQH为PQ与底面所成角

∴
[例3] SA⊥面ABC,AB⊥BC,DE在面SAC内,垂直平分SC,交SC、AC于E、D,若SA=AB=1,BC=,求二面角(1)B—SC—A的余弦值;(2)E—BD—C。
解:(1)
面DEB
∴∠DEB为二面角A—SC—B的平面角
面SAC
∴∠EDC为二面角C—BD—E的平面角
∴
∵ AB=SA=1 AC= SC=2
∴ BE=1 DE= CD=
∴
∵∴
[例4] 正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=1,求:
(1)D到面D1AC的距离;
(2)C到面AB1D1的距离;
(3)M为BB1中点,M到面D1AC的距离;
(4)AC1与BB1的距离
解:(1)连BD∩AC=E
过D作DF⊥D1E于F,
∴ DF为距离
(2)设C到面AB1D1的距离为h
∴

(3)连DM交D1E于H,设M到面D1AC距离为

∴
(4)
[例5] 四棱锥P—ABCD,底面ABCD为菱形,AB=2,∠BAD=60°,PB=PD,PA=PC=,求:
(1)B到面PAD的距离;
(2)BC与PA的距离;
(3)AC与PD的距离。
解:(1)AC∩BD=H,连PH
BF为所求
PA=,AH,PH,PB=2
∴ BE=DE=,BD=2
∴ BF=
另
(2)(BC,面PAD)=(B,面PAD)=
(3)过H作HM⊥PD于M
为公垂线
[例6] 直二面角,AB∩,,AB与所成角为,AB与所成角为,求证:。
证明:过A作AC⊥于C,过B作BD⊥于D
∴ AC⊥ BD⊥∠BAD= ∠ABC=
∴∴
∴
当且仅当C、D重合时,
[例7] 如图所示,已知直线AB⊥平面,线段BC,CD⊥BC且CD与平面成30°的角,设AB=BC=CD=2,CE是CD在平面内的射影。
(1)求证:AD与BC是异面直线;
(2)求AC与DE之间距离;
(3)求AD与BC所成角的度数。
解析:(1)证明:假设AD与BC在同一个平面内,∵ AB⊥,BC
∴ AB⊥BC,又CD⊥BC,∴ AB//CD,∴ CD⊥,这与CD与成30°角矛盾
∴ AD与BC是异面直线
(2)∵ CE是CD在平面内的射影
∴ DE⊥,从而DE⊥CE
由BC⊥CD得BC⊥CE,由AB⊥,CE得CE⊥AB
∴ CE⊥平面ABC,AC平面ABC ∴ CE⊥AC
∴ CE是AC与DE的公垂线,CD=2,∠DCE=30° ∴ CE=
(3)延长DE到F,使EF=DE,则DFAB
连接BF,则BFAD
∴∠FBC是AD与BC所成的角∴∠FBC=45°
[例8] 如图所示,四面体ABCS中,SA、SB、SC两两垂直,∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB的中点,求:
(1)BC与平面SAB所成的角;
(2)SC与平面ABC所成角的正切值。
解析:(1)∵ CS⊥SB,CS⊥SA ∴ SC⊥平面SAB
∴ BC在平面SAB上的射影为SB
∴∠SBC为SB与平面SAB所成的角,又∠SBC=60°
故BC与平面SAB所成的角为60°
(2)连结MC,在中,∠SBA=45°
∴ SM⊥AB 又AB⊥SC ∴ AB⊥面SMC ∴面SMC⊥面ABC
过点S作SO⊥MC于点O ∴ SO⊥面ABC
∴∠SCM为SC与平面ABC所成的角
设SB=,则SM=,在△SBC中,SC=SBtan60°=
∴
[例9] 如图,已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形,AB//DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点。
(1)证明:面PAD⊥面PCD;
(2)求AC与PB所成的角余弦值;
(3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值。
解析:(1)证明:∵ PA⊥面ABCD,CD⊥AD
∴由三垂线定理得:CD⊥PA
因而,CD与面PAD内两条相交直线A