同济大学线性代数3.1.ppt

文档介绍：§它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用①②①②方程组的同解变换与增广矩阵的关系在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程变为另一个同解的方程这种变换过程称为同解变换同解变换有交换两个方程的位置把某个方程乘以一个非零数某个方程的非零倍加到另一个方程上显然交换B的第1行与第2行即得B1增广矩阵的比较③2③2显然把B的第3行乘以(1/2)即得B2方程组的同解变换与增广矩阵的关系在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程变为另一个同解的方程这种变换过程称为同解变换同解变换有交换两个方程的位置把某个方程乘以一个非零数某个方程的非零倍加到另一个方程上例如增广矩阵的比较①2②①2②显然把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3方程组的同解变换与增广矩阵的关系在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程变为另一个同解的方程这种变换过程称为同解变换同解变换有交换两个方程的位置把某个方程乘以一个非零数某个方程的非零倍加到另一个方程上例如增广矩阵的比较对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上就得到矩阵的三种初等变换方程组的同解变换与增广矩阵的关系在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程变为另一个同解的方程这种变换过程称为同解变换同解变换有交换两个方程的位置把某个方程乘以一个非零数某个方程的非零倍加到另一个方程上(列)变换(i)对调两行(列)(ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素(3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去矩阵的初等变换这三种变换都是可逆的且其逆变换是同一类型的初等变换例如变换ri+krj的逆变换为ri+(k)rj(或记作rikrj)rirj(cicj)对调ij两行(列)rik(cik)表示第i行(列)乘非零数kri+krj(ci+kcj)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上就称矩阵A与B等价记作A~B如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B就称矩阵A与B行等价记作A~Br如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B就称矩阵A与B列等价记作A~Bc等价关系的性质(i)反身性A~A(ii)对称性若A~B则B~A(iii)传递性若A~BB~C则A~C~~~~~r3r41121401110000261121402220055360334311214211122311236979r42r3矩阵初等变换举例r1r2r2r3r32r1r43r111214011100002600013r22r35r2r43r2r32r1r2r2r3行阶梯形矩阵行最简形矩阵10104011030001300000000000001对于任何矩阵A总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵下页~~~~~r3r41121401110000261121402220055360334311214211122311236979r42r3矩阵初等变换举例r1r2r2r3r32r1r43r111214011100002600013r22r35r2r43r2r32r1r2r2