新高等数学 何春江 电子教案 1003 1003.ppt

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一、全微分的定义
二、全微分在近似计算中的应用
第三节全微分
当边长
当
其中
记
,宽为
称为函数
,则面积
一矩形金属片,长为
分别有增量
时,面积的增量为
的全增量,
时,即
,且
时,
是比
高阶的无穷小. 则
,
,从而有
1、引例
一、全微分的定义

定义设函数
在点
的某邻域内有定
义,且
、
存在,如果
在点
处的全增量
可表示为
其中
,则称
为函数
在点
处的全微分,记作
由定义可知:
(1)如果函数
处的两个偏导数
在点
处可微,则在该点
、
必都存在.
(2)函数
在点
处可微,
则函数在点
处连续.
(3)规定自变量的增量等于自变量的微分,即
,则全微分又可记为
注:若z = f (x, y)在(x, y)处,
z = f (x, y)在(x, y)处可微分.
都存在,不能保证
在
处,
但它在
处不可微分.
例如:
在点
定理1(充分条件) 如果函数
的两个
处存在且连续,则函数
处必可微.
例1 求函数
的全微分.
解
偏导数在点
注:关于二元函数全微分的定义及可微分的充分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数.
解
例2:计算
的全微分.
例3: 求 z = x4 y3 +2x 在点(1, 2)的全微分.
解
 dz = 34dx + 12dy
极限, 连续, 偏导存在, 可微的关系:
极限
连续
偏导存在
可微

+
+

连续