文档介绍：等差数列前n项和公式的
Powerpoint课件
高中数学第一册(上)
伍浪
数学教育
工作室
函数特征
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这个解题过程十分正确,但……
我们首先看一个练****见教材P119第7题):
如果等差数列{an}前4项的和是2,前9项的和是-6,求其前n 项和的公式。
大多数同学的解题过程是:
还有其它解法吗?
设这个等差数列的首项为a1,公差为d,则有:
,
解之得:
∴
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设 Sn= an2 + bn,依题意得:S4=2, S9= -6,
另解:
∴设a= d, b=a1- d, 则有Sn= an2+bn。
∵ Sn=na1+ n(n -1)d= dn2+(a1- d)n,
解之得:
这种解法是不是容易些?
这两个公式具有函数特征。
即
如果把Sn看成以n为自变量的函数,就可以使用待定系数法求Sn的函数解析式。
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等差数列的前n项和公式的函数特征:
等差数列{an}的前n项和公式Sn =an2 + bn(a= d, b=a1- d)是一个以n为自变量,前n项和Sn为函数值的函数。
当d≠0时,它是一个不含常数项的二次函数;且当d大于0时,开口向上,当d小于0时,开口向下。
当d=0且a1≠0时,它是一个一次函数。
从而,我们多了一种解决等差数列问题的方法——函数方法。
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∵Sn= dn2+(a1- d)n = ×(-2)n2+[21- ×(-2) ]n=-n2+22n=-(n-11)2+121,
思考这些条件,能得出什么结论?
例1:已知数列{an}是等差数列,且a1= 21,公差d=-2,求这个数列的前n项和Sn的最大值。
解:
分析:利用前n项和公式的函数特征,就可以运用二次函数的性质解题。
∵a=-1, ∴当n=11时,(Sn)max=121。
例2、等差数列{an}中,首项a1<0,S3 = S11,问:这个数列的前几项的和最小?
审题:由a1<0, S3 = S11可得:d>0, 则等差数列的前 n 项和Sn=an2+bn是一个开口向上的二次函数,因而存在最小值。由S3=S11可找到系数a与b的关系。
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二次项系数a在此题中的作用是什么?
如果a小于0,此数列的前n项和可能存在最大值。
如果a小于0,此数列的前n项和是否存在最小值?
解:
依题意可设Sn=an2 + bn,
∵S3= S11,∴a×32+b×3= a×112+b×11,
∴8b= -112a,即b=-14a,
∴Sn= an2+bn = an2-14an
=a(n2 -14n)=a(n-7)2-49a.
∵a > 0, ∴当n=7时,(Sn)min=-49a,
∴这个数列的前7项的和最小。
例2:等差数列{an}中,首项a1<0,S3 = S11,问:这个数列的前几项的和最小?
∵a1<0, S3= S11, ∴d > 0,即a= d > 0,
咆捷合伺蠢导渠知摧论宠馅茂栅什渺绳恬位烧妥榷哄晒猜跌怎搁袖但戚亡等差数列前n项和公式的等差数列前n项和公式的
这几处与例2不同。
∵a < 0, ∴当n=7时,(Sn)max=-49a,
∴这个数列的前7项的和最大。
解:
∵a1>0, S3= S11, ∴d < 0,即a= d < 0,
依题意可设Sn=an2 + bn,
∵S3= S11,∴a×32+b×3= a×112+b×11,
∴8b= -112a,即b=-14a,
∴Sn= an2+bn = an2-14an
=a(n2 -14n)=a(n-7)2-49a.
例2的变式题一:等差数列{an}中,首项a1>0,S3 = S11,问:这个数列的前几项的和最大?
此两处用字母替代后,又怎么解呢?
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依题意可设Sn=an2 + bn,
例2的变式题二:等差数列{an}的首项a1> 0, 前n项和为Sn,当m≠l 时,Sm= Sl (其中m∈N+, l∈N+),问: n为何值时,Sn最