文档介绍：数列综合
★★★高考要考什么
本章主要涉及等差(比)数列的定义、通项公式、前n项和及其性质,数列的极限、,是历年的重点内容之一,近几年考查的力度有所增加,体现高考是以能力立意命题的原则.
高考对本专题考查比较全面、深刻,
间相互关系,呈现“小、巧、活”的特点;大题中往往把等差(比)数列与函数、方程与不等式,解析几何等知识结合,考查基础知识、思想方法的运用,对思维能力要求较高,注重试题的综合性,注意分类讨论.
高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在
一起,再加以导数和向量等新增内容,:
(1)由递推公式给出数列,与其他知识交汇,考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力.
(2)给出Sn与an的关系,求通项等,考查等价转化的数学思想与解决问题能力.
(3)以函数、解析几何的知识为载体,或定义新数列,考查在新情境下知识的迁移能力.
理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用,注意不等式型的递推数列.
★★突破重难点
【范例1】已知数列,满足,,且()
(I)令,求数列的通项公式;
(II)求数列的通项公式及前项和公式.
解:(I)由题设得,即()
易知是首项为,公差为2的等差数列,通项公式为.
(II)解:由题设得,令,则.
易知是首项为,公比为的等比数列,通项公式为. 由解得
, 求和得.
【变式】(理)已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。
(Ⅰ)、求数列的通项公式;
(Ⅱ)、设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;
解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得
a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.
又因为点均在函数的图像上,所以=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5.
当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 ()
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知==,
故Tn===(1-).
因此,要使(1-)<()成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.
【范例2】已知函数,是方程f(x)=0的两个根,是f(x)的导数;设,(n=1,2,……)
(1)求的值;
(2)证明:对任意的正整数n,都有>a;
(3)记(n=1,2,……),求数列{bn}的前n项和Sn。
解析:(1)∵,是方程f(x)=0的两个根,∴;
(2),
=,∵,∴有基本不等式可知(当且仅当时取等号),∴同,样,……,(n=1,2,……),
(3),而,即,
,同理,,又
【变式】对任意函数f(x),x∈D,可按图示3—2构造一个数列发生器,其工作原理如下:
①输入数据x0∈D,经数列发生器输出x1=f(x0);
②若x1D,则数列发生器结束工作;若x1∈D,则将x1反馈回输入端,再输出x2=f(x1),并依此规律继续下去.
现定义f(x)=.
(Ⅰ)若输入x0=,则由数列发生器产生数列{xn}.请写出数列{xn}的