文档介绍：计算机分形模拟研究
(管理学院信息管理与信息系统专业黄冠雄)
(学号:2001044004)
摘要:近 20 年来,分形的研究受到广泛的重视,其深刻的理论意义以及巨大的实用价值
吸引着人们寻找其中可能存在的新规律和新特征。本文就分形图形学中几个重要分支进行了研究
并使用 给出了这几种分形图的计算机算法。
关键词:分形;递归;逃逸时间算法;迭代;Julia 集;Mandelbrot 集;
教师点评:本文是深圳市科技局项目背景下的一个软件实现预研,主要测试 Julia 集合等复
平面分形图案形案的各种生成软件算法的可用性及有效性。本文在查阅大量分形书籍的基础上,
成功实现可供项目参考的软件原型,达到了本科论文的水平,是一篇很成功的毕业论文。(点评
教师:宋广为讲师)
前言:
非线性科学的一个主要任务是研究自然界的复杂性,目前一般认为,孤子、混沌和分形是非
线性科学的主要组成部分。随着研究工作的开展,它的内容在不断地扩大,神经网络、元胞自动
机、复杂系统等都包含在非线性科学内。非线性科学现在还是一门正在发展中的科学。本论文主
要是与分形有关的部分。
一、分形的简介
1973 年,曼德勃罗()在法兰西学院讲课时,首次提出了分维和分形几何
的设想。分形(Fractal)一词,是曼德勃罗创造出来的,其原意具有不规则、支离破碎等意义,
分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在
的,因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后,很快就引起了许多学科的关
注,这是由于它不仅在理论上,而且在实用上都具有重要价值。
(一) 分形几何的特点
1) 从整体上看,分形几何图形是处处不规则的。例如,海岸线和山川形状,从远距离观
察,其形状是极不规则的。
2) 在不同尺度上,图形的规则性又是相同的。海岸线和山川形状,从近距离观察,其局
部形状又和整体形态相似,它们从整体到局部,都是自相似①的。当然,也有一些分
形几何图形,它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随即现象的,还有
一些是用来描述混沌和非线性系统的。
(二) 分形与欧氏几何的区别
1) 欧氏几何图形是规则的,而分形是不规则的。也就是说欧氏图形一般是逐段光滑的,
而分形往往在任何区间内都不具有光滑性。
2) 欧氏几何图形层次是有限的,而分形从数学角度上讲层次是无限的。
3) 欧氏几何图形一般不会从局部得到整体的信息,因为它们不强调局部与整体的关系,
而分形则强调这种关系,所以分形往往能从局部看出整体。
4) 欧氏几何图形越复杂,其背后的规则也必定越复杂;而虽然分形图形看上去十分复杂,
但其背后的规则却是相当简单。
(三) 分形的定义
1990 年英国的法尔科内将生物中对“生命”①定义的方法应用到对“分形”的定义。他认
为虽然难于对“分形”下一个确切的定义,但可以通过分形集的一系列特征来说明,如同“生
1
命”并无精确的定义,但“生命”这个概念是通过生命体的一系列特征来表征的。在他的著作中,
分形集F所具有的特征是:
1) F具有精细的结构,具有任意小比例细节;
2) F具有不规则形,使得它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述;
3) F 一般具有某种部分与整体之间的自相似性,可能是近似的或统计的;
4) 通常 F 的“分形维数”(以某种方式定义)大于它的拓扑维数;
二、分形图的递归算法
递归是指一个过程直接或间接地调用其自身的一种算法。实质上,递归是利用计算机压栈和
出栈的功能,重复地运用某些规则来生成嵌套的结构。压栈,意思是暂时停止目前的进行的操作,
但并没有把当前的信息忘掉,然后去完成更低一层次的任务;而出栈刚好相反,是结束这个层次
上的操作回到更高的层次上业,重新开始因为“压栈”而中断的操作。分形的自我相似、自我复
制和自我嵌套可以利用计算机的递归算法来实现。②
(一) Koch曲线
由瑞典数学家 von koch 设计:
设 E。为单位区间[0,1]
第一步:即 N=1,以 E。的中间三分之一为底,向上作一个等边三角形,然后去掉中间那段。
第二步,即 N=2,对刚得到的四条线段重复第一步的过程。
再重复上述过程,便得到一条处处连续但点点不可微的曲线。
其图形的初始元是一条直线:
N=1
N=2
N=15
分析:
2
len = ((ex - cx) * (ex - cx) + (ey - cy) * (ey - cy))