文档介绍：数列基础知识
一、数列
、项的概念:按一定次序排列的一列数,叫做数列,其中的每一个数叫做数列的项.
:①有序性;②确定性;③可重复性.
:通常用字母加右下角标表示数列的项,其中右下角标表示项的位置序号,因此数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,(…),简记作{an} .其中an是该数列的第 n 项,列表法、图象法、符号法、列举法、解析法、公式法(通项公式、递推公式、求和公式)都是表示数列的方法.
:①单调性;②周期性.
:
①按项的数量分: 有穷数列、无穷数列;
②按相邻项的大小关系分:递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、其他;
③按项的变化规律分:等差数列、等比数列、其他;
④按项的变化范围分:有界数列、无界数列.
:如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的函数关系可以用一个公式a=f(n)(n∈N+或其有限子集{1,2,3,…,n}) 来表示,,是函数值,而序号是指数列中项的位置,,点的横坐标是项的序号值,,数列的通项公式在形式上未必唯一.
:如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项an-1,an-2,…)间关系可以用一个公式 an=f(a)(n=2,3,…) (或 an=f(a,a)(n=3,4,5,…),…)来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式.
:设Sn表示数列{an}和前n项和,即Sn==a1+a2+…+an,如果Sn与项数n之间的函数关系可以用一个公式 Sn= f(n)(n=1,2,3,…) 来表示,那么这个公式叫做这个数列的求和公式.
:
通项公式an与求和公式Sn的关系可表示为: .
二、等差数列
、公差的概念:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列(又叫算术数列),这个常数叫做等差数列的公差
.根据公差的范围可把等差数列分为以下三种类型:
公差范围
d > 0
d < 0
d = 0
类型
递增数列
递减数列
常数列
:
①定义公式:an- an-1(n≥2)= an+1- an = d .
②通项公式:an=a1+(n-1)d=ak+(n-k)d .
注:a是关于n的一次型代数式,即可写成an= an+b ,其中n的系数为公差.
③公差公式:.公差是等差数列的图象的斜率.
④中项公式:a、b、c成等差数列b-a=c-b2b=a+cb= b是a与c的等差中项;{ an }为等差数列2an=an-1+an+1(n≥2).(存在性与唯一性)
⑤换和公式:m、n、p、qN, m+n=p+qam+an=ap+aq(可推广).
⑥求和公式:Sn= (a1+an)n=na1+ n(n-1)d=an(n为奇数).
注:Sn是关于n的二次型代数式,且无常数项,即可写成Sn= an2+bn ,
其中n2