Taylor展开式及其应用.pdf

文档介绍：Taylor 展开式及其应用

(师范学院数学教育系,数学与应用数学余炎坤)
(学号:2000123115)

内容提要:本文在给出具有 Peano 余项、Lagrange 余项及 Cauchy 余项等三种余项的
Taylor 展开式的基础上,主要讨论它们的各种应用.
关键词:Taylor 展开式;应用;Peano 余项;Lagrange 余项.
教师点评:该文主要讨论了具有 Peano 余项及 Lagrange 余项的 Taylor 展开式的各种应
,对 Taylor 展开式的理解较为深刻,找出了 Taylor 展开式的多种应用,
对大学数学中 Taylor 展开式部分的教师教学和学生学习,都有较大的参考价值,是一篇优
秀的本科毕业论文.(点评教师:郭辉博士,教授)

引言
在数学分析中,讨论函数的 Taylor 展开式的实质,就是希望用简单的多项式函数去近
,函数和相应的多项式有什么样的关系?近似替代后,误差是怎
样的?进一步地,如何运用函数的这种近似替代多项式去解决各种各样的问题?本文旨在对
这些问题作一些讨论和探索.

一、Taylor 展开式
定理 (Taylor 定理)若函数 f (x) 在 a 存在 n 阶导数,则∀ x ∈U (a) ,有
= + − n
f (x) Tn (x) o[(x a) ] , (*)
(i)
n f (a)
其中= − i ; = − n →,即是比− n 的
Tn (x) ∑(x a) Rn (x) o[(x a) ] (x a) Rn (x) (x a)
i=0 i!
高阶无穷小,(*)式称为 f (x) 在 a 展开的 Taylor 公式.
(i)
n f (a)
证明= - = - − i
Rn (x) f (x) Tn (x) f (x) ∑(x a) .
i=0 i!
'' (n)
f (a) f (a) −
R ' (x) = f ' (x) -[ f ' (a) + (x − a) + ...+ (x − a)n 1 ].
n 1! (n −1)!
''' (n)
f (a) f (a) −
R '' (x) = f '' (x) -[ f '' (a) + (x − a) + ...+ (x − a) n 2 ].
n 1! (n − 2)!
……
(n)
−−− f (a)
R (n 1) (x) = f (n 1) (x) -[ f (n 1) (a) + (x − a) ].
n 1!
→' (n−1) − k ∈
当 x a 时,有 Rn (x) , Rn (x) ,…, Rn (x) 以及(x a) (k N + ),由
洛必达法则,有
' '' (n−1)'
R (x) n n n
n = R (x) = R (x) = = R (x)
lim lim − lim −... lim
x→a (x − a)n x→a n(x − a)n 1 x→a n(n −1)(x − a)n 2 x→a n!(x −