文档介绍：探讨勾股定理的发现与发展

(师范学院数学教育系数学与应用数学专业赵南南)
(学号:1999123121)

内容提要:勾股定理是一条古老而又重要的定理。关于这个定理的发现,说法不一,在
中国又称为“商高定理”,在外国又称为毕达哥拉斯定理。到目前为止,勾股定理的证明方
法已有 500 多种,无论古今,此定理的应用都十分广泛。本文主要探讨勾股定理的发现,几
种典型的证明方法,以及勾股定理在平面几何中的应用,并从勾股定理推广到费马大定理。
关键词:勾股定理,毕达哥拉斯。
教师点评:这是一篇涉及数学史方面的论文。赵南南同学在查阅并研读了大量资料后,
对勾股定理这个数学上非常重要的定理的提出,论证,应用及发展,较系统和完整地进行了
探索,文章内容对中、小学数学教育很有帮助。该论文观点正确,语言表达流畅,层次分明,
结构完整,是一篇很好的本科生毕业论文。(点评教师:曹丽华,讲师)

一. 勾股定理的发现
勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。这
个定理在中国又称为“商高定理”,在外国称为“毕达哥拉斯定理”。为什么一个定理有这
么多名称呢?
关于勾股定理的发现,在战载了西周开国时期
周武王之弟周公姬旦与周朝大夫商高关于原始的割圆之法的问答(商高是公元前十一世纪的
中国人)。书中第一段讲周天历度之数的方法,即勾股法。商高说:“数之法,出于圆方,圆出于
方,方出于矩,矩出于九九八十一。”这是从万物之象不外乎圆方,万物之数离不开圆方的观点
出发,把圆、方都归宿于矩,而矩形则可从二数相乘得到。“九九”是乘法口诀,“九九八十一”
即表二数相乘之意。商高接着说:“故折矩以为句(勾),广三,股修四,径隅五。既方其外,半之一
矩。环而共盘,得成三、四、五。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之
所生也。”这是说在夏禹时已有了“勾三股四径(弦)五”这个勾股定理的特例的知识了。
什么是“勾、股”呢?在中国古代,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”,
下半部分称为“股”。
商高那段话的意思就是说:当直角三角形的两条直角边分别为 3(短边)和 4(长边)
时,径隅(就是弦)则为 5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。
由于勾股定理的内容最早见于商高的话中,所以人们就把这个定理叫作“商高定理”。
又从《周髀算经》中所记载荣方和陈子的问答:“以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而
开方除之,得邪(斜,弦)至日。”可以看出陈子已经掌握了勾股弦定理,因为这是明确的勾 2 +
股 2 = 弦 2 的表述。荣方为周惠王大臣,陈子为陈宣公时公族,都是公元前 7 世纪中叶人,因此
又有人认为我国发现勾股定理比古希腊学者毕达哥拉斯(Pythagoras,.~.)早,
认为勾股定理应称为“陈子定理”。
希腊另一位数学家欧几里德(Euclid,是公元前三百年左右的人)在编著《几何原本》
时,认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的,所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”,
以后就流传开了。毕达哥拉斯(Pythagoras)是古希腊数学家,他是公元前五世纪的人,比