文档介绍：沟通有限和无限的桥梁──数学归纳法

(师范学院数学系数学与应用数学专业凌瑜)
(学号:2001123101)

摘要:本文从古代的数学思想的发展引出对数学归纳法的评述,对数学归纳法的理论背景、
提出过程及各种形式进行了详细地论述,并讨论了使用数学归纳法的证题技巧及数学归纳法在现
实生活及在数学发展中的作用。
关键词:归纳法、数学归纳法
教师点评:数学归纳法在数学中有着广泛的应用,它是沟通有限和无限的桥梁。本文深入探
讨了数学归纳法的起源、演变、发展、变形以及应用技巧。全文史料丰富、立论严谨、分析透彻、
行文流畅、结构清晰,对于人们深刻领会数学归纳法的实质、灵活运用数学归纳法解决有关问题
具有重要指导意义。全文书写格式正确、规范,题名、作者、摘要、关键词、参考文献等项目齐
全且符合深圳大学毕业论文书写规范,表现出作者已经具有良好的文献检索、分析与综合的能力,
具有撰写科技或教育论文的能力。这是一篇优秀的本科毕业论文。(点评教师:张文俊教授)

数学上的许多命题都涉及了自然数,对待这种问题,如果要否定它,只需举一个反例即可;
但如果要肯定它,就出现了困难。因为自然数有无限多个,若是一个接一个地验证下去,那永远
也做不完。怎么办呢?数学家想出了一种非常重要的数学方法来解决这类问题,就是数学归纳法。
数学归纳法在数学中有着广泛的应用,它是沟通有限和无限的桥梁。本文将对数学归纳法的起源、
演变、发展、变形以及应用技巧进行探讨。
1 古代的数学思想
自古代到 18 世纪,数学研究基本上处于分散状态。例如,古希腊学者欧几里得在他的《几
何原本》中提出了公理化思想和方法,以解决将大量的、零散的几何知识系统化问题。希腊杰出
思想家亚里士多德对观察、分类等方法进行了研究,他在《工具论》一书中论述了归纳法和演绎
法总结了演绎推理的一般原则,创立了形式逻辑。英国哲学家弗兰西·培根在他的名著《新工具》
中系统地阐述了实验法和归纳法,并创立了归纳逻辑。我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中
提出了“割圆术”,以解决长期存在的圆周率计算不精确的问题,其中包含着极限思想方法的萌
芽。英国数学家纳皮尔发明了对数方法,以解决天文观测及贸易中存在的繁重的数字计算问题。
2 数学归纳法的提出
历史上的归纳法
归纳法是人们认识客观世界的一种重要思想方法,它对数学的发展甚至对整个人类的发展都
起着极为重要的推动作用。归纳法又分为不完全归纳法、完全归纳法和数学归纳法。
在数学史上,很早就出现了不完全归纳法。著名的“四色定理”、“哥德巴赫猜想”就是根
据不完全归纳法提出的。一般认为,归纳推理可以追溯到公元前 6 世纪的毕达哥拉斯时代,最佳
例证是毕达哥拉斯利用点子数对级数求和问题的讨论,他利用经过剖分后的正方形数的直观形象
(图 1),

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图1
利用不完全的归纳推理得出:
1 + 3 + 5 + ⋯+ (2n — 1)= n2
有些问题由于出现多种(往往是有限的)可能情形,这时就可以采用完全归纳法予以证明。
然而,人们在解决问题时也会遇到无限集合的问题,完全归纳法只适合