文档介绍：目录
一、问题的提出 1
二、问题的分析 2
三、符号约定 3
四、模型的假设 4
五、问题Ⅰ—二体轨道力学和运动方程的模型 4
二体问题和运动方程: 4
进一步简化的运动方程: 5
轨道的几何方程的进一步探究: 5
六、问题Ⅱ-1—解析解模型 7
解析解模型的分析: 7
解析解模型的求解: 8
七、问题Ⅱ-1—求最小组数的最小二乘法模型 9
、离散格式下的求最小m值的算法 9
、利用解析解求最小m值的算法 12
模型的求解与检验 13
八、问题Ⅱ-3—高精度差商的最小二乘法模型 16
解析解模型的求解和讨论 16
考虑了高精度差商的最小二乘法模型的分析和求解 18
九、问题Ⅱ-3—变分伴随同化模型 27
问题的分析 27
问题的求解: 32
对模型误差敏感度的检验: 37
十、问题Ⅱ-4—中央差商的最小二乘法模型 39
分析和模型修改 39
结果讨论 40
对模型误差敏感度的检验: 42
十一、问题Ⅱ-4—变分伴随同化模型 45
问题的分析 45
问题的求解: 45
对模型误差敏感度的检验: 48
十二、模型的推广 49
背景知识: 49
考虑捕获量这个外界因素的影响: 50
考虑更为广泛的捕食系统: 51
十三、模型的优缺点分析 54
十四、关于本问题的几点讨论 54
十五、模型的扩展 55
一、问题的提出
包括“神舟六号”载人航天宇宙飞船、人造地球卫星等航天器围绕地球在轨运行的过程中,要受到很多力的作用,其中主要的是地球万有引力和航天器发动机作用力。
一:考虑航天器在仅受到地球万有引力、航天器自身发动机作用力的作用下作平面运动,将地球和航天器视为质点,试建立航天器运动的数学模型(只要列出模型,不要求解)。
显然这样的数学模型在精度上是远远不能满足实际需要的,在其他要求精确制导等有关高科技的实际问题中,我们都面临着类似的问题:我们必须建立高精度的数学模型,必须高精度地估计模型中的大批参数,因为只有这样的数学模型才能解决实际问题,而不会出现差之毫厘,结果却失之千里的情况。这时所建立数学模型的精度就成了数学模型的生命线。例如上述问题中的航天器还要受到地球质量分布不均匀所引起的摄动力,大气阻力,日、月及其它星球的摄动引力的影响,以及航天器发动机为调整航天器自身姿态运作时作用力的影响。这样不但数学模型十分复杂,而且在这些数学模型中还要涉及到许多重要的参数,如地球的引力场模型就有许多待定参数。不仅如此,在对航天器进行测量时,还涉及到观测站的地理位置以及设备的系统误差等参数。为此人们要设法利用长期积累的丰富的观测资料,高精度确定这些重要的参数。
由于航天器的问题太复杂,下面本题仅考虑较简单的确定高精度参数问题。
假设有一个生态系统,其中含有两种生物,即: A生物和B生物,其中A生物是捕食者,B生物是被捕食者。假设时刻捕食者A的数目为,被捕食者B数目为,它们之间满足以下变化规律:
初始条件为:
其中为模型的待定参数。
通过对此生态系统的观测,可以得到相关的观测数据。观测数据的格式依次为:
观测时刻、A生物数目、B生物数目
二:请利用有关数据,解决以下问题:
1) 在观测数据无误差的情况下,若已知,求其它5个参数?有关数据见数据文件:
2) 在观测数据无误差的情况下,若也未知,问至少需要多少组观测数据,才能确定参数?有关数据见数据文件:
3) 在观测资料有误差(时间变量不含有误差)的情况下,,确定参数在某种意义下的最优解,并与仿真结果比较,进而改进你们的数学模型。
4) 假设连观测资料的时间变量也含有误差,,建立数学模型,确定参数在某种意义下的最优解。
二、问题的分析
问题Ⅰ中建立二体轨道力学和运动方程的模型来解决此问题。分别分析了二体问题和运动方程,进一步简化的运动方程,以及讨论了轨道的几何方程和轨道可能的形状。
问题Ⅱ实际包含了四个小问:(1)由于已知,我们主要是用求解解析式的方法来直接求解出(2)采用最小二乘法来求解。假设有组数据,分解析解和离散差分格式这两种情况来讨论。离散情况下:首先将原微分方程组按某种差分格式离散化,然后将组观测数据离散后的差分格式,构造以参数为未知变量的二元一次线性方程组,根据最小二乘法的原理,结合矩阵的相关理论,讨论解存在、唯一、稳定的条件,从而确定求解参数需要观测资料的组数。解析解的利用:从原