文档介绍：圆的方程
第四章圆与方程
1、什么是圆?
如图,在一个平面内,线段CP绕它固定的一个端点C旋转一周,另一个端点P所形成的图形叫做圆。
2、圆有什么特征呢?
思考:
在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢?
圆心--确定圆的位置
半径--确定圆的大小
(1)圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径r);
(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
到定点距离等于定长的点的集合
符合上述条件的圆的集合是什么?你能用描述法来表示这个集合吗?
符合上述条件的圆的集合:
圆的方程
x
O
y
A
(a,b)
M
r
(x, y)
问题
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离如何表示?
根据两点间距离公式:
则点M、A间的距离为:
即:
x
O
y
A
(a,b)
M
r
(x, y)
即(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
称为圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程
问题:圆的标准方程有什么特征?
(1)有两个变量x,y,形式都是与某个实数差的平方;
(2)两个变量的系数都是1
(3)方程的右边是某个实数的平方,一定为正数。
圆心在坐标原点,半径长为r 的圆的方程是什么?
例1 写出圆心为,半径长等于5的圆的方程,并判断点, 是否在这个圆上.
解:圆心是,半径长等于5的圆的标准方程是:
把的坐标代入方程左右两边相等,点的坐标适合圆的方程,所以点
在这个圆上;
典型例题
把点的坐标代入此方程,左右两边不相等,点的坐标不适合圆的方程,所以点不在这个圆上.
点与圆的位置关系
判断一个点在不在某个圆上,
只需将这个点的坐标带入这个圆的方程,
如果能使圆的方程成立,则在这个圆上,
反之如果不成立则不在这个圆上.
怎样判断点在圆内呢?还是在圆外呢?
A
x
y
o
M1
M2
M3
点在圆上点到圆心的距离等于半径 r ;
点在圆外点到圆心的距离大于半径 r ;
点在圆内点到圆心的距离小于半径 r ;
的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,-3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.
分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆,三角形有唯一的外接圆.
解法一:设所求圆的方程是
因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所以它们的坐标都满足圆的方程,于是
解得:
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
.
25
,
-3
,
2
2
r
b
a
所以, 的外接圆的方程.
待定系数法
解法二:
l2
l1
因为A(5,1)和B(7,-3),所以线段AB的中点的坐标为(6,-1),直线
AB的斜率
因此线段AB的垂直平分线 l1 的方程是:
即:
所以,圆心为C的圆的标准方程是:
因为B(7,-3)和C(2,-8) ,所以线段BC的中点的坐标为(,-),直线BC的斜率
因此线段BC的垂直平分线 l2 的方程是:
即:
△ABC的外接圆的圆心O的坐
标是方程组的解
解得:
即 O(2,-3)
圆O的半径长: