文档介绍：函数的周期性与对称性◆函数的轴对称定理1:函数满足,:函数满足,:函数满足,则函数的图象关于直线(y轴)对称.◆函数的周期性定理2:函数对于定义域中的任意,都有,则是以为周期的周期函数;推论1:函数对于定义域中的任意,都有,则是以(a-b)为周期的周期函数;推论2:下列条件都是以2T为周期的周期函数:;②;③;④;⑤;⑥.◆函数的点对称定理3:函数满足,:函数满足,:函数满足,则函数的图象关于原点对称.◆函数轴对称、点对称与周期性定理4:若函数在R上满足,且(其中),则函数以为周期.(若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b(b>a)都轴对称,则函数f(x)有无数条对称轴,且f(x)为周期函数,并且2(b-a)是它的一个周期)定理5:若函数在R上满足,且(其中),则函数以为周期.(若函数f(x)的图象关于点(a,0)和(b,0)(b>a)都成中心对称,则函数f(x)有无数个对称中心,且f(x)为周期函数,并且2(b-a)是它的一个周期)◆函数的奇偶性、对称性与周期性综合定理6:若函数在R上满足,且(其中),则函数以为周期.(若函数f(x)的图象既关于直线x=a成轴对称,又关于点(b,c)(a≠b)成中心对称,则f(x)为周期函数,并且4(b-a)是它的一个周期)推论1:若奇函数f(x)的图象关于直线x=a(a≠0)轴对称,则f(x)为周期函数,4a是它的一个周期;推论2:若奇函数f(x)的图象关于点(a,0)(a≠0)中心对称,则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期;推论3:若偶函数f(x)的图象关于直线x=a(a≠0)轴对称,则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期;推论4:若偶函数f(x)的图象关于点(a,0)(a≠0)中心对称,则f(x)为周期函数,4a是它的一个周期。定理7:函数为偶函数函数关于直线x=a对称;函数为奇函数函数关于点对称。练****1:对称性1、设函数的定义域为R,且满足,则图象关于________对称。2、设函数的定义域为R,且满足,则图象关于________对称。3、设函数的定义域为R,且满足,则图象关于______对称,图象关于__________对称。4、设的定义域为R,且对任意,有,则图象关于__________对称,关于__________对称。5、已知函数对一切实数x满足,且方程有5个实根,则这5个实根之和为___________。6、设函数的定义域为R,则下列命题中:①若是偶函数,则图象关于y轴对称;②是偶函数,则图象关于直线对称;③,则函数图象关于直线对称;④。练****2:周期性1、已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为()、已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,则()、设是定义在上以6为周期的函数,在内单调递减,且的图像关于直线对称,则下面正确的结论是()、函数对于任意实数满足条件,若则________。5、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为________。6、设函数f(x)定义在R上,满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=(x)=0在闭区间[-2008,2008]、函数定义域为R,且恒满足和,当时,,求解析式。练****3:奇偶性、对称性与周期性综合1、函数的定义域为R,若与都是奇函数,则()、若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是()(x)(x)(x)+(x)+1为偶函数3、定义在实数集上的奇函数恒满足,且时,,则________。4、已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=____________5、设f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=对称。求f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)的值____________6、已知f(x)是定义在R上的偶函数,且g(x)=f(x-1)为奇函数,求f(2009)的值____________。7、已知偶函数定义域为R,且恒满足,若方程在上只有三个实根,且一个根是4,求方程在区间中的根。8、设f(x)是定义在R上的偶函数,它的图象关于直线