文档介绍：、 正弦定理及其变形-7^-=^-=^—=2/?(/?为sinAsinBsinC(1a=27?sinAyb=27?sinB,c=2/?sinC(边(2sinA=—,sinB=—,sinC=— 2R 2R 2R(角(3a:b:c=sin:sinB:sinCasinAasinAbsinB(4)—= —= —=「sinC2、 正弦定理适用情况:(1) 已知两角及任一边(2) 已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况)己知a,b和A,求B时的解的情况:如果sinA>sinB,则B有唯一解;如果sinA<sinB<l,则B有两解;如果sinB=l,则B有唯一解;如果sinB>l,、余弦定理及其推论cosA= aSg=—aftsinC=—besin力=一easin3 2 2 2 (两边夹一角);6、三角形中常用结论(])a+b>c,b+c>a,a+c>b(即(2)在AJBC J>5a>/><=>sinJ>sin5((3)在AABC中,A+B+C=兀,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=—cosC;tan(A+B)=—tanC。.A+B C A+ff .Csin =cos—,cos =sin—2 222^c2-h2a2=fe2+c2-osAcos〃=h:=/+c‘-osB a2+/)2_c2, , , cosC= c~=cT+b~-2abcosC lab4、余弦定理适用情况:(1)已知两边及夹角;(2)已知三边。5、常用的三角形面积公式二、典型例题题型1边角互化[例1]在WC中,若sinJ:sinfi:sinC=3:5:7,则角C的度数为X+bF32+52-72【解析】由正弦定理可得a:b:c=3:5:7,,令a、b、c依次为3、5、7,则cosC=2ab=2x3x5=_丄~22因为0旺逼,所以c=3[例2]若b、c是MBC的三边,/(xrb’x,+(,+/-/)x+c2,则函数/(x)的图象与x轴A、有两个交点B、有一个交点C、没有交点D、至少有一个交点【解析】由余弦定理得F+c—os4,所以/W-b2x2+osc2=(osJ)2+c2-c2cos2J,因为cos'/②,所以c2-?cos2J[?o,因此f(^)[?0恒成立,所以其图像与X轴没有交点。题型2三角形解的个数[例3]在中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是【】A、a=7,6=14,力=30。・ b、6=25,c=30,C=150°・C、b=4,c=5,B=30°. d、a=氏,b=込,B=60°o题型3面积问题[例4] 的一个内角为120。,并且三边构成公差为4的等差数列,则山的面积为【解析】设AABC的三边分别:x—4、x、x+4,ZC=120°,.•.由余弦定理得:(x+4)2=(x—4)?+x2—2x(x—4)><xxcosl20。,解得:x=10•••△ABC三边分别为6、10、14。•°・=l«/,SinC-lx6xl0x^=15>/3题型4判断三角形形状[例5]在MBC中,己知d+b2)・sin(M-3)=(a2_b2)・sin(/+B),判断该三角形的形状。【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。[sin(J-5)-sin(J+B)]=/?2[-sin(J+5)-sin(J一5)]2a2cos/sin〃=2b2c