文档介绍：求解二阶波动方程的三次样条差分方法
摘要有限差分法在求解二阶波动方程初边值问题过程中通常受到精度和稳定性的限制,本文对二阶波动方程的时间、空间项分别采用i次样条公式进行离散,推导出精度分别为O(τ2+h2),O(τ2+h4),O(τ4+h2)和O(τ4+h4)的四种三层隐式差分格式。以及与之相匹配的第一个时间步的同阶离散格式,并采用Fourier方法分析了格式的稳定性,数值实验表明,本文给出的四种格式中的两种与精细时程积分方法、经典的C—N格式和高精度紧致隐式差分格式相比,计算量减小,精度更高,。
关键词波动方程三次样条差分方法稳定
1 引言
二阶波动方程是用于描写振动现象和波在介质中传播过程的数学物理方程,二阶波动方程出现在机械振动、声波、弹性波的理论中,关于波动方程初值或初边值问题数值解法的研究一直是微分方程数值解方向的重点课题,目前,对于这类方程的数值解法已经有一些结果,其中最常见的是有限元方法和有限差分方法[1],文[1]中提出了一个三层的显式差分格式,其局部截断误差阶仅为O(τ2+h2)。文[2]提出了一类显式辛格式,它比隐式辛格式的计算量小,但格式是条件稳定的,并且为二阶精度。文[3]针对二阶波动方程提出了精细时程积分法,该方法虽然在时间方向是精确计算,但是,在空间方向的局部阶段误差阶仅为O(h2),且在实际计算中h的值不能太小,随着矩阵H阶数的增大,计算量增大,文[4]的作者考虑了经典的C-N格式,并在此基础上设计了重叠型区域分解的并行算法。由于C-N算法的局部截断误差阶仅为O(τ2+h2),所以文[4]的方法虽然适合并行计算,但是其精度太低。文[5]中作者提出了两种隐式紧致差分格式,其局部误差阶分别为O(τ2+h4),O(τ4+h4)。
本文利用三次样条的基本公式,给出了四种求解二阶波动方程的三点、三层隐式差分格式,其局部截断误差分别为O(τ2+h2)、O(τ2+h4)、O(τ4+h2)和O(τ4+h4)。一般利用三次样条构造的差分格式每个时间步需要耦合联立求解三个三对角方程组,而本文只需求解一个三对角方程组,工作量大大降低,且本文包含了文[5]给出的精度为0(τ4+h4)的格式。
2样条基本公式及精度的研究[6]
基本思想和均匀划分下的三次样条基本公式.
三次样条近似的基本思想是:分段用三次曲线来逼近真实解,在不同的段上它们一般是不同的,
值、一阶导数值及二阶导数值之间的基本关系式,把上述三类值作为未知量,直接代入微分方程中,结果得到一个有限的线性方程组,通过解线性方程组而求出微分方程的近似解。
设x1为区间[0,L]上的节点,
0=x0 <xl<⋯<xN=L,
h =xi—xi-l,
U(x)是定义在[0,L]上的函数,并且在节点上的值被表示为u(xi)=ui,
设Sp(u,x)=Sp (x)[0,L]的每个分段[xi-1,xi]上都是三次多项式,且满足以下两组条件:
(i)插值条件,在节点处给定的函数值ui,即
Sp(ui,xi)=Sp(xi)=ui, i=0,1,⋯,N
(ii)