文档介绍：第四章向量组的线性相关性本章不仅要讨论向量组的有关理论,建立向量组秩的概念,还要沟通矩阵的秩与向量组的秩之间的关系,并抽象出向量空间的概念,最后以此为背景完整的处理线性方程组的解的结构理论。本章中线性相关性是一个较难理解和掌握的概念,学****中应注意其在二、三维向量的几何解释。§1n维向量在高等数学中曾介绍了二、三维向量的概念,即用二、三元数组描述了一系列物理现象,如力所作的功,刚体旋转运动中的线速度问题等。但要更广泛的应用向量这个工具只考虑二三维空间就不够了。如研究卫星在太空中的运行状态时,不仅要关注它的几何位置,还需知道它的表面温度、压力等物理参数,即至少要用六数组(t,x,y,z,τ,p)。因此有必要拓广向量的概念,引入由n元数组构成的n维向量,并抽象出向量空间的概念。定义1n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的数组成为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,分量全为实数的向量称为实向量。分量不全为实数的向量称为复向量。我们只研究实向量。n维向量分为行向量和列向量两大类,前面也说过这两类分别就是行矩阵和列矩阵,因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质。在本章中,向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算。为叙述方便,我们约定:在不特别声明时我们说到的向量均为列向量。同于分块阵中所述,我们仍用小写黑体字母a,b,a,b等表示列向量,用表示行向量。例如,,,…,统称为n维单位向量。当n=2时的二维向量就是平面解析几何中的向量——即有大小又有方向的量,并且平面解析几何中是以可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象,即大小相等、方向一致的向量认为是同一个向量,:,因为,这种自由向量与平面上的点P(x,y)构成一一对应,称之为向量的坐标,即,这种二维向量的全体构成的集合{r=(x,y)T½x,yÎR}称为二维向量空间。完全类似地,可将二维向量推广到三维空间中去。当n=3时,由于空间中可随意平行移动的有向线段与空间中的点P构成一一对应,故我们也称点P的坐标为向量坐标,即,这种三维向量的全体构成的集合{r=(x,y,z)T½x,y,zÎR}称为三维向量空间。由于三维向量r=与空间中的点是一一对应的,三维向量的集合常常就类比成点的集合,例如我们知道ax+by+cz=d在空间中表示一个平面,故我们也称三维向量的集合p={r=(x,y,z)T½ax+by+cz=d}为三维向量空间R3中的平面。当n>3时,虽然n维向量就不再具有这种几何形象了,但我们仍沿用这些说法和记号,全体n维向量构成的集合{r=½ÎR}称为n维向量空间,n维向量的集合p={r=½}称为n维向量空间中的n-1维超平面。§2向量组的线性相关性线性表示1、线性表示我们称由若干个同维数的列(行)向量构成的集合是一个向量组。例如,m´n矩阵A的m个n维行向量可构成一个行向量组——矩阵A的行向量组,反过来,任给一组n维行向量,都可以构成一得矩阵,因此它们构成一一对应;类似地,m´n矩阵A的n个m维列向量构成的列向量组也与A构成一一对应,故我们也用大写字母表示向量组为A:.比如,n阶单位阵E对应的列向量组就是n维单位向量组E:.在讲分块阵时曾建立了线性方程组用其系数阵A的列向量组来表达的等价形式向量个数=未知量个数x1a1+x2a2+…+xnan=b,现在要改用向量的语言来描述这个表达式,定义如下定义1给定向量组A:,k1,k2,…,km是任意一组实数,我们称向量k1a1+k2a2+…+kmam是向量组A的一个线性组合,k1,k2,…,km称为组合系数。给定向量组A:,和向量b,若存在一组实数k1,k2,…,km,使得b=k1a1+k2a2+…+kmam,即b是向量组A的一个线性组合,我们称向量b可由向量组A线性表示(或线性表出)注任一个n维向量a=(a1,a2,…,an)T都可由n维单位向量组线性表示:a=a1e1+a2e2+…+anen.在几何角度看线性表示,即在二维向量空间中来看线性组合:若b=k1a1+k2a2,(k1k2¹0) 非零组合则b在a1与a2张成的平面上。实际上,用方程组的语言来描述向量之间的线性表示就是向量b可由向量组A线性表示Û方程组x1a1+x2a2+…+xnan=b有解Û有解R(A)=R(B).即有结论沟通了向量组线性表示、矩阵的秩、方程组有解三者之间的关系定理1向量b可由向量组A:线性表示Û矩阵A=()的秩等于矩阵B=(,b)的秩。2、两个向量组的等价定义3设有两个n维向量组A:,B:,若向量组B中每个向量都可由向量组A线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示;若向量组A与向量组B可以互相线性表示,则称这两个向量组等价。注显然向量组的等价也是等价关系,即向量组的