文档介绍：膁思想方法系列二蝿芄极限·连续·可导辨析蒃袃在高中数学第三册(选修II)第三章导数与微分的学****过程中,不少同学对极限、连续、可导、最值等概念混淆不清,下面举例谈一谈这些概念间的区别与联系,以期对同学们的学****有所帮助。(1)是指x从点x0左侧(x<x0)无限趋近于x0,是指x从点x0右侧(x>x0)无限趋近于x0。而x→x0是指x可以用任何方式无限趋近于x0,即可以从点x0的左侧无限趋近于x0,也可以从点x0右侧无限趋近于x0,还可以从点x0的两侧交错地无限趋近于x0等等,且有如下充要条件:袄莁(2)存在与f(x)在x0处是否有定义无关,x→x0是x取值无限地趋近于x0,不一定取到x0。薁例1(1)设讨论f(x)在点x=0的极限;蚈(2)已知,求;芅(3)设求与f(0).肃解(1)莀∴f(x)在点x=0处无极限,即不存在(但f(0)=0,f(x)在x=0处有定义)。(x)在点x0处有极值与f(x)在点x0处连续聿(1)函数f(x)在点x0连续必须具备3个条件:袈(i)f(x)在点x=x0有定义;袃(ii)f(x)在点x=x0有极限;节(iii)袇(2)极限是讨论函数在某一点附近变化的趋势,与函数在这点有无定义无关,但函数在某一点连续不仅要求该点有极限,而且要求函数在该点的极限值等于函数值(即函数在此点必须有定义)。羈例2图1中所表示的函数f(x)在x=a处是否连续。芃蚀分析(1)f(x)在x=a处连续。袀(2)在x=a处无定义,∴不连续。羈(3),∴不连续。蚄(4)不存在,∴不连续。(x)在点x0处连续与f(x)在点x0处可导虿函数f(x)在点x0处可导时必有点x0连续;函数f(x)在点x0连续不一定在点x0可导,即可导必连续,连续不一定可导。肈例3已知函数f(x)在点x0可导,求证:f(x)在点x0连续。肅证明∵函数f(x)在点x0可导,袀蒈而***膂∴函数f(x)在点x0连续。薂例4请举反例说明连续不一定可导。***解如函数f(x)=|x|=芇薃∴f(x)在点x=0连续。肀芀∴不存在,莇∴f(x)在点x=0不可导。(1)函数极值的判定方法是:聿设f(x)在点x0连续。蒇(i)若在x0附近左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是函数的一个极大值;莅(ii)若在x0附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是函数的一个极小值。膀点x0是极值点的充分条件是该点附近两侧导数异号。螈(2)f′(x0)存在时,x0是极值点的必要条件是f′(x0)=0,即x0是f(x)的极值点f′(x0)=0,反之不一定成立,例如f(x)=x3在x=0有f′(0)=0,但x=0不是极值点。螁(3)不可导点可能是极值点,也可能不是极值点,故找函数的极值点应该从f′(x)=0的根和不可导点两方面去检验。肀例如y=|x|,x=0是极值点,但函数在x=0不可导;膅不是极值点,函数在x=0也不可导。(1)极值是就某点附近而言,是一个局部性概念,在某区间内,极值可以有多个,极大值也不一定比极小值大,极大值与极小值两者没有必然联系,最值是一个整体性概念,在某区间内函数的最值若存在,则必是唯一的,且最大值一定大于最小值。膆如图2所示,在区间[a,b]内,函数在点x=x1,x=x3,x=x5取得极小值