4.2矩阵的相似角化.ppt

文档介绍：§:设都是阶矩阵,若存在可逆矩阵,使得则称矩阵是矩阵的相似矩阵,对进行运算称为对进行相似变换,可逆矩阵称为把矩阵变成矩阵的相似变换矩阵。或称矩阵与矩阵相似,记作注:矩阵相似是一种等价关系(1)反身性:(2)对称性:若则(3)传递性:若则一、相似矩阵的定义及性质性质:相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩推论:若矩阵与对角阵相似,则是的个特征值。(1)相似矩阵或者都可逆,或者都不可逆。当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似。其它的有关相似矩阵的性质:(介绍)(3)若与相似,则与相似。(为正整数)(5)(6)(为任意常数)(2)若与相似,则与相似。(为正整数)(4)若与相似,而是一个多项式,则与相似。(2)有相同特征多项式的矩阵不一定相似。注:(1)与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身,与数量矩阵kE相似的n阶方阵只有数量阵kE本。对阶方阵,如果可以找到可逆矩阵,使得为对角阵,就称为把方阵对角化。二、矩阵可对角化的条件(利用相似变换把方阵对角化)定理:阶矩阵可对角化(与对角阵相似)有个线性无关的特征向量。(逆命题不成立)推论:若阶方阵有个互不相同的特征值,则可对角化。(与对角阵相似)(2)可逆矩阵由的个线性无关的特征向量作列向量构成。注:(1)若则的主对角元素即为的特征值,矩阵的相似标准形。如果不计的排列顺序,则唯一,称之为例:判断下列实矩阵能否化为对角阵?解:得得基础解系当时,齐次线性方程组为当时,齐次线性方程组为得基础解系线性无关即A有3个线性无关的特征向量,所以A可以对角化。