文档介绍：二次函数综合题型精讲精练
主讲:康老师
题型一:二次函数中的最值问题
例1:如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点.
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.
解析:(1)把A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c中,得
解这个方程组,得a=﹣,b=1,c=0
所以解析式为y=﹣x2+x.
(2)由y=﹣x2+x=﹣(x﹣1)2+,可得
抛物线的对称轴为x=1,并且对称轴垂直平分线段OB
∴OM=BM
∴OM+AM=BM+AM
连接AB交直线x=1于M点,则此时OM+AM最小
过点A作AN⊥x轴于点N,
在Rt△ABN中,AB===4,
因此OM+AM最小值为.
方法提炼:已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B,求AM+BM最小值的问题,我们只需做出点A关于这条直线的对称点A’,将点B与A’连接起来交直线与点M,那么A’B就是AM+BM的最小值。同理,我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B’,将点A与B’连接起来交直线与点M,那么AB’就是AM+BM的最小值。应用的定理是:两点之间线段最短。
A A
B B
M 或者 M
A’ B’
例2:已知抛物线的函数解析式为,若抛物线经过点,方程的两根为,,且。
(1)求抛物线的顶点坐标.
(2)已知实数,请证明:≥,并说明为何值时才会有.
(3)若抛物线先向上平移4个单位,再向左平移1个单位后得到抛物线,设,是上的两个不同点,且满足:,,.请你用含有的表达式表示出△的面积,并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式。
解析:(1)∵抛物线过(0,-3)点,∴-3a=-3
∴a=1
∴y=x2+bx-3
∵x2+bx-3=0的两根为x1,x2且=4
∴=4且b<0
∴b=-2
∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4
∴抛物线C1的顶点坐标为(1,-4)
(2)∵x>0,∴
∴显然当x=1时,才有
(3)方法一:由平移知识易得C2的解析式为:y=x2
∴A(m,m2),B(n,n2)
∵ΔAOB为RtΔ
∴OA2+OB2=AB2
∴m2+m4+n2+n4=(m-n)2+(m2-n2)2
化简得:m n=-1
∵SΔAOB==
∵m n=-1
∴SΔAOB=
=
∴SΔAOB的最小值为1,此时m=1,A(1,1)
∴直线OA的一次函数解析式为y=x
方法提炼:①已知一元二次方程两个根x1,x2,求|x1-x2|。因为|x1-x2|=
②
例3:如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.
(3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由.
解析:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则:
a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1;
∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3.
(2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有:
,
解得;
故直线BC的解析式:y=﹣x+3.
已知点M的横坐标为m,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3);
∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3).
(3)如图;
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN×OB,
∴S△BNC=(﹣m2+3m)×3=﹣(m﹣)2+(0<m<3);
∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为.
方法提炼:因为△BNC的面积不好直接求,将△BNC的面积分解为△MNC和△MNB的面积和。然后将△BNC的面积表示出来,得到一个关于m的二次函数。此题利用的就是二次函数求最值的思想,当二次函数的开口向下时,在顶点处取得最大值;当二次函数的开口向上时,在顶点处取得最小值。
题型二:二次函数与三角形的综合问题
例4:如图,已知:直线交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C(1,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似,求出点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上,是否存在点E,使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积?如果存在,请求出点E的