文档介绍：2018/1/22
1
排列、组合和二项定理
22 一月 2018
二项式定理
①二项式定理
2018/1/22
2
在n=1,2,3,4时,研究(a+b)n的展开式:
(a+b)1= ,
(a+b)2= ,
(a+b)3= ,
(a+b)4= .
a+b
a2+2ab+b2
a3+3a2b+3ab2+b3
探究:
展开式中的项数、次数(a、b各自次数)、
每一项的系数规律.
=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a3+3a2b+3ab2+b3)
(a+b)
复习引入
2018/1/22
3
(a+b)2 = ( a + b ) ( a + b )
(a+b)2 =a2+2ab+b2
a2
ab
b2
=a2+2ab+b2
共有三项
按选出b的情况分类
探究规律
2018/1/22
4
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)3=( a+b )( a+b )( a+b )
=a3+3a2b+3ab2+b3
a3
a2b
ab2
b3
共有四项
按选出b的情况分类
探究规律
2018/1/22
5
a4相当于取4个a球(不取 b球) :
a3b相当于取3个a球(取3 a 1 b) :
a2b2相当于取2个a球(取2 a 2 b) :
ab3相当于取1个a球(取1 a 3 b) :
b4相当于不取 a球(全取b球) :
看作4个容器中有红a、蓝b球各一个,每次从4个容器中各取一个球,有什么样的取法?各种取法有多少种?
把(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 转化为
探究规律
2018/1/22
6
不作多项式运算,用组合知识来考察,展开
探究规律
2018/1/22
7
在n=1,2,3,4时,研究(a+b)n的展开式:
(a+b)1=
(a+b)2=
(a+b)3=
a+b
a2+2ab+b2
a3+3a2b+3ab2+b3
探究规律
2018/1/22
8
③展开式中的系数叫做二项式系数
没有大胆的猜想,就不能有伟大的发现和发明.(牛顿)
①这个公式所表示的定理,叫做二项式定理.
②右边的多项式叫做的展开式.
④式中的叫做二项式通项,用表示,
即通项为展开式的第r+1项.
猜想推广
2018/1/22
9
r an-rbr 叫做二项展开式的通项,记作Tr+1
Cnr 叫做二项式系数.
一般地,对于n N*,有:
说明:
1、项数:共n+1项
2、指数:a按降幂排列,b按升幂排列,每一项中a、b的指数和为n
3、系数:第r+1项的二项式系数为(r=0,1,2,…,n)
学习新课
二项式定理
2018/1/22
10
特殊地:
=1,b=x
则(1+x) n=x+…+Cnxr+…+ Cnxn
r
n
1
-b代替
(a-b)n= an-1b+ …+(-1)rCnan-rbr
+ …+(-1)nCnbn
0
1
r
n
对定理的再认识: