(天津大学)微积分几何应用.ppt

文档介绍：第一节
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定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决?
二、如何应用定积分解决问题?
第六章
1
表示为
一、什么问题可以用定积分解决?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某函数 f (x) 有关的
2) U 对区间[a , b] 具有可加性,
即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
定积分定义
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一个整体量;
2
二、如何应用定积分解决问题?
第一步利用“化整为零, 以常代变”求出局部量的
微分表达式
第二步利用“积零为整, 无限累加”求出整体量的
积分表达式
这种分析方法成为元素法(或微元分析法)
元素的几何形状常取为:
条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳等
近似值
精确值
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四、旋转体的侧面积(补充)
三、平行截面面积为已知函数的
立体体积(旋转体的体积)
第二节
一、平面图形的面积
二、平面曲线的弧长
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定积分在几何学上的应用
第六章
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一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
取x为积分变量,则
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边梯形面积为 A ,
右下图所示图形面积为
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例1. 计算两条抛物线
在第一象限所围
所围图形的面积.
解: 由
得交点
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例2. 计算抛物线
与直线
的面积.
解: 由
得交点
所围图形
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
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例3. 求椭圆
解: 利用对称性,
所围图形的面积.
有
利用椭圆的参数方程
应用定积分换元法得
当 a = b 时得圆面积公式
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一般地, 当曲边梯形的曲边由参数方程
给出时,
按顺时针方向规定起点和终点的参数值
则曲边梯形面积
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例4. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.
解:
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