文档介绍：函数的值域与最值•知识点归纳一、 相关概念1、 值域:两数y=/9),xeA,我们把函数值的集合{y\y=f(x\xeA}称为这个函数的值域。2、 最值:求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上,如果在函数的值域屮存在一个最小(人)数,这个数就是函数的最小(人)值。因此,求函数的最值和值域,其实质是相同的,只是提问不同而己。最大值:一般地,设函数>=/&)的定义域为人如果存在实数M满足:①对于任意的炸人都有心)WM;②存在迪丘7,使得/Uo)二M。那么,称M是函数尸心)的最大值。记作儿ax=/(^o)最小值:一般地,设函数:的定义域为人如果存在实数“满足:①对于任意的兀日,都有心)2M;②存在也三7,使得ZUQ二M。那么,称M是函数y=/U)的最小值。记作ymin=f(x0)注意:函数最人(小)首先应该是某一•个函数值,即存在使得Axo)=M;函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的xez,都有y(x)WM(y(x)>M)o二、 基本函数的值域•次函数y=la+b(qH0)的定义域为R,值域为R;•次函数y=ox2+bx+c(ghO)的定义域为R,;当g>0, [4^-/?2,+oo);6Z<0, (_oo,4m_Q]4a 4a反比例函数J,=L(k工0)的定义域为{x|xH0},值域为{y/y工0};指数函数V=N(a>0jJgl)的值域为{y/y>0};对数函数y=logx(a>OHzzH1)的值域为R;正、余弦:函数的值域[-1,1];正、余切函数y=tanx;xHk7r昇,y=cotx(x工k兀,kwZ)的值域为R。三、 求函数值域和最值常用的方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类:(1)求常见函数值域;⑵求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域三大类:(1)单项式,多项式的值域:利用(1)利用基本函数(2)X2>0|x|>0;sfx>0(x>0)(2)指数、对数,开根号函数的值域:采用换元法分式函数的值域方法:(1)分离变量(常数)法;(2)反函数法(中间变量有界法);(3)数形结合(解析几何法:求斜率);(4)判别式法(定义域无限制为R);类别一(1)观察法(用非负数的性质,如:X2>0;X>0;y[x>0(x>0)等)例如:求下列函数的值域:y二-3x^+2;{y|y22}变式:y二5+2厶+1(x2T)的值域是{y|y$5}利用基本函数求值域法:例如:= =4y=x+丄(兀〉0)解析:通过基本函数的值域可知:A的值域为[0,+oo),C的值域为[0,1],D的值域为[2,+8).答案:B配方法:多项式里边的二次函数必用配方,(二次或四次)转化为二次函数,(即转化为含有自变量的平方式与常数的和)型如:/(x)=ax2+fcr+c,xw(m,n)然后根据变量的取值范围确定函数的最值;思考:如何配方呢?例如:求值域:y=x24-x+l,xwR;xg[-1,3];xe(1,5];xg[-5,-1]解析:通过配方可得尸(兀+*)2+令开口向上,所以当"+时,函数取最小值J I 厶y=-;当xw[-l,3]时,在x=丄时,函数的最小值为y=-;故大值在x=3时取至U,* 4 2 4f(3)=13;故其值域为[3,13];4同学练习:G(1,5];JT€[-5,-1]变式1:—-x2+3x—6的值域4变式2:y=—x2+4x—1x^[-l,3);(答:【-6,3])变式3:求函数y二一仝的值域.(答:(0,5])2;r-4x+3类别二(4)换元法(代数换元法)通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题,化归思想;例1:求函数y=2兀+4VE的值域 (-oo,4]解析:令r= 二(t<0),贝ljx=l-/2,故y=2(l")+4f,经整理得y=-2t2+4t+2;(不要忘了t的定义域)用配方法求的y的值域为(-8,4]。例二求/(x)=log2(x2-2x+6)的值域解答:复合形式用换元:令/=/一2兀+6,则由例1可知,te[5,+oo)根据单调性,可求出log21的值域为[log25,+cc)例三:求f(x)=4”+2却+6的值域解答:因为4X=(2A)2,所以,采用换元法,令t=2',则fw(0,+oo)则原函数变为厂+2/+6,可以根据二次函数值域的求法得到值域为(6,+qo)变式1:求函数y二3x-Jl-2x的值域.({y|yW@})2变式2:y=2x+\+y/x-i的值域为{(3,+00))(令yjx-i=t9r>0O};变式3:y=x+4+yl9-x2的值域为 (答:[1,3血+4]);变式4:函数y= 的值域为 (答: