文档介绍：(一)数列的极限
按一定顺序排列的无穷多个数
称为数列,记作,其中每一个数称为数列的项,第n项。为数列的一般项或通项,例如
(1)1,3,5,…,,…
(2)
(3)
(4)1,0,1,0,…,…
都是数列。
在几何上,数列可看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点。
定义对于数列,如果当时,无限地趋于一个常数A,则称当n趋于无穷大时,数列以常数A为极限,或称数列收敛于A,记作
否则称数列没有极限,如果数列没有极限,就称数列是发散的。
数列极限的几何意义:将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示,若数列以A为极限,就表示当n趋于无穷大时,点可以无限靠近点A。
(二)数列极限的性质
(惟一性)若数列收敛,则其极限值必定惟一。
(有界性)若数列收敛,则它必定有界。
注意:这个定理反过来不成立,也就是说,有界数列不一定收敛。
(两面夹定理)若数列,,满足不等式且。
,则它必有极限。
下面我们给出数列极限的四则运算定理。
(1)
(2)
(3)当时,
(三)函数极限的概念
(1)当时的极限
定义对于函数,如果当x无限地趋于时,函数无限地趋于一个常数A,则称当时,函数的极限是A,记作或(当时)如需精美完整排版,请QQ:67460666 手机 137 8381 6366联系
(2)当时的左极限
定义对于函数,如果当x从的左边无限地趋于时,函数无限地趋于一个常数A,则称当时,函数的左极限是A,记作或
例如函数
当x从0的左边无限地趋于0时,:当时,的左极限是1,即有
(3)当时,的右极限
定义对于函数,如果当x从的右边无限地趋于时,函数无限地趋于一个常数A,则称当时,函数的右极限是A,记作
或
又如函数
当x从0的右边无限地趋于0时,无限地趋于一个常数-1 。因此有
这就是说,对于函数
当时,的左极限是1,而右极限是-1,即
但是对于函数,当时,的左极限是2,而右极限是2。
显然,函数的左极限、右极限与函数的极限之间有以下关系:如需精美完整排版,请QQ:67460666 手机 137 8381 6366联系
当时,函数的极限等于A的必要充分条件是
这就是说:如果当时,函数的极限等于A,则必定有左、右极限都等于A。
反之,如果左、右极限都等于A,则必有。
这个结论很容易直接由它们的定义得到。
以上讲的是当时,函数的极限存在的情况,对于某些函数的某些点处,当时,的极限也可能不存在。
,函数的极限
(1)当时,函数的极限
定义对于函数,如果当时,无限地趋于一个常数A,则称当时,函数的极限是A,记作或(当时)
(2)当时,函数的极限
定义对于函数,如果当时,无限地趋于一个常数A,则称当时,函数的极限是A,记作
这个定义与数列极限的定义基本上一样,只不过在数列极限的定义中一定表示,且n是正整数;而在这个定义中,则要明确写出,且其中的x不一定是整数。
如函数,当时,无限地趋于常数2,因此有
(3)当时,函数的极限
定义对于函数,如果当时,无限地趋于一个常数A,则称当时,的极限是A,记作
又如函数,当时,无限地趋于常数2,因此我们说,当时,函数的极限是2,即有
由上述,,时,函数极限的定义,不难看出:时,的极限是A,这表示当且仅当
以及时,函数有相同的极限A。
但是对函数来讲,因为有,即虽然当时,的极限存在,当时,的极限也存在,但这两个极限不相同,我们只能说,当时,的极限不存在。
例如函数,当时,无限地趋于常数1:当时,也无限地趋于同一个常数1,因此称当时的极限是1,记作如需精美完整排版,请QQ:67460666 手机 137 8381 6366联系
其几何意义如图3所示.
(四)函数极限的定理
(惟一性定理)如果存在,则极限值必定惟一。
(两面夹定理)设函数,,在点的某个邻域内(可除外)满足条件
且有。
注意:。
下面我们给出函数极限的四则运算定理
如果则
(1)
(2)
(3)当时,
上述运算法则不难推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形,并有以下推论:
推论
(1)
(2)
(3)
用极限的运算法则求极限时,必须注意:这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在,且求商的极限时,还要求分母的极限不能为零,另外,上述极限的运算法则对于的情形也都成立。如需精美完整排版,请QQ:67460666 手机 137 8381 6366联系
(五)无穷小量和无穷大