新应用微积分(下册) 教学课件 刘春凤应用微积分 第4章 4.3.ppt

文档介绍：在线教务辅导网:
教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网
QQ:349134187 或者直接输入下面地址:
http://shop106150152.
第 4 章
主讲教师:
中值定理与导数的应用
第 4 章中值定理与导数应用
中值定理
洛必达法则
函数单调性和凹凸性
函数的极值与最值
函数图形描绘
函数单调性和凹凸性
1
2
函数单调性的判定法
确定函数单调区间的步骤
3
曲线的凹凸性及其判别法
4
确定函数凹凸区间的步骤
函数单调性的判定法
如果函数
在
那么它的图形是一条沿
曲线上各点处的切线斜率是非负的(是非正的),即
与导数的符号有着密切的联系。
上单调增加(单调减少),
轴正向上升(下降)的曲线。
。由此可见,函数的单调性
设函数
连续,在
内可导。
(1)若
时,有
,则
;
(2)若
。
时,有
,则
反之,能否用导数的符号来判定函数的单调性呢?下面的定理给出了一个用导数的符号来判定函数单调性的方法:
在
因为函数
连续,在
内可导。
在
在
上任取两点
,
,应用拉格朗日中值定理得
定理
证
由于
,且
时,恒有
,故
于是
,即
,表明
同理,若
时,恒有
,故
于是
,即
,表明
,证毕。
。
,
注:(1)若
除个别点等于零外,在区间
为正(负),则仍有
(或
例如
,
,
,但是
(2)该定理中的闭区间换成其他各种区间(包括无穷
区间),结论依然成立。
上处处
);
确定函数单调区间的步骤
若
,则称
是函数
的一个驻点;
驻点和导数不存在的点统称为函数
的一阶可疑点。
一个函数在其定义域内可能有多个单增区间和单减区间,我们要确定它们关键在于寻找增减区间的分界点。若
为函数
的增减区间分界点且在
两侧
存在,则在
两侧
必然异号,因而
或

不存在.
导数等于零的点和导数不存在点划分函数定义域后,就可以使函数在各个部分区间上单调,因此确定函数单调区间的步骤如下:
①求函数
的定义域
④用一阶可疑点把定义域分开后列表判定
②求
③求一阶可疑点
求函数
=
的单调区间。
①定义域为
=
③令
得驻点
④把以上信息汇总列表如下:
②
(-∞,-3)
-3
(-3,1)
1
(1,+∞)
+
0
-
0
+

解