代数构造举例.doc

文档介绍：代数构造举例
每一种代数结构都是在普通集合上附加特定的规则而形成的。这些特定的规则包括规定元素之间的关系、规定特定的映射等。设S为普通集合。
半群(semigroup):存在一种二元映射(操作/运算/函数):,且该映射具有结合律。
幺半群(monoid):在半群基础上具有左右单位元。
群:在半群基础上有左单位元与左逆元。
线性空间:略
拓扑:规定集合S的子集族中哪些是空集。
准欧式空间:在实线性空间的基础上定义一个非退化的对称双线性映射f。
欧式空间:f是正定的。
伪欧式空间:f非正定,最典型的例子是“闵可夫斯基四维空间”。
辛空间:在线性空间基础上定义一个非退化的反对称双线性映射。
还有许许多多的代数结构:度量空间、赋范空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间、流形、李代数、外代数等等都可以看成是在某些较简单的代数结构的基础上附加更多的规则而成为更为复杂的代数结构。虽然数学中的代数结构多种多样,但基础都是集合。
如下图所示,展现了一些与群相类似的代数结构的规则([Omer Cabrera]Applications of Symmetry in Mathematics):注:Totality就是指closure