文档介绍：数学天地
自然数

自然数是在人类的生产和生活实践中逐渐产生的。人类认识自然数的过
程是相当长的。在远古时代,人类在捕鱼、狩猎和采集果实的劳动中产生了
计数的需要。起初人们用手指、绳结、刻痕、石子或木棒等实物来计数。例
如:表示捕获了只羊,就伸出个手指;用个小石子表示捕捞了条鱼;
一些人外出捕猎,出去天,家里的人就在绳子上打个结,用绳结的个数
来表示外出的天数。这样经过较长时间,随着生产和交换的不断增多以及语
言的发展,渐渐地把数从具体事物中抽象出来,先有数目,以后逐次加,
得到、、⋯⋯,这样逐渐产生和形成了自然数。因此,可以把自然数定
义为,在数物体的时候,用来表示物体个数的、、、、、⋯⋯叫做自
然数。自然数的单位是“”,任何自然数都是由若干个“”组成的。自然
数有无限多个, 是最小的自然数,没有最大的自然数。
零

可以说,自然数是从表示“有”多少的需要中产生的。在实践中还常常
遇到没有物体的情况。例如:盘子里一个苹果也没有。为了表示“没有”,
就产生了一个新的数“零”。
“零”是一个数,记作“”,“”是整数,但不是自然数,它比所有
的自然数都小。“”作为一个单独的数,不仅可以表示“没有”,而且是一
个有完全确定意义的数,是一个起着很多重要作用的数。具体作用有:
()表示数的某位上没有单位,起到占位的作用。例如:,表示
十位和十分位上一个单位也没有。为近似数时,表示精确到百分位。
元表示特别的单价是元整。
()表示某些数量的界限。例如在数轴上是正数与负数的界限。“”
既不是正数,也不是负数。在摄氏温度计上“”是零上温度与零下温度的分
界。
()表示温度。在通常情况下水结冰的温度为摄氏“”度。说今天的
气温为零度,并不是指今天没有温度。
()表示起点。如在刻度尺上,刻度的起点为“”。从甲城到乙城的
公路上,靠近路边竖有里程碑,每隔千米竖一个,开始第一个桩子上刻的
是“”,表明这是这段公路的起点。
在四则运算中,零有着特殊的性质。
()任何数与相加都得原来的数。例如: , 。
()任何数减去都得原来的数。例如: , 。
()相同的两个数相减,差等于。例如: , 。
()任何数与相乘,积等于。例如:× ,×
() 除以任何自然数,商都等于。例如:÷ ,÷ 。因此
是任意自然数的倍数。
() 不能作除数。因为任何自然数除以零,都得不到准确的商。例如:
÷,找不到一个数与相乘可以得。零除以零时有无数个商,因为任何
数与相乘都能得到,所以像÷、÷ 都无意义。
为什么不是素数

全体自然数可以分为三类:
()只能被“”和它本身整除的数叫素数,如:、、、、⋯⋯。
()除了“”和它本身以外,还能被其他数整除的数叫合数,如:、
、、⋯⋯。
()“”既不是素数也不是合数。
有人要问,“”也只能被和它本身整除,为什么不能算素数呢?而且
“”算作素数后,全体自然数分成素数和合数两类,岂不是更简单吗?
这要从分解素因数谈起。比如, 能被哪些数整除,其实质是将
分解素因数,由××,而且只有这一种分解结果,知道除
了被和它本身整除以外,还能被、、整除。若把“”也算作素数,
那么分解素因数就会出现下面一些结果:
××
×××
××××
⋯⋯
也就是说,分解式中可随便添上几个因数“”。这样做,一方面对求
的因数毫无必要,另一方面分解素因素结果不唯一,又增添了不必要的
麻烦。因此“”不算作素数。
整数

正整数、零、负整数统称为整数。正整数:、、、⋯⋯;零: ;
负整数:、、⋯⋯。正整数即自然数。在小学阶段不学负数,小学学
的自然数和零都是整数,也就是说,小学只学习了大于零和等于零的整数。
小数的经历

小数是十进制分数的另一种表示方法。有了小数,使记数更方便了。如
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,若用分数表示,就得写成,书写、计算都很麻烦。
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有位著名美国数学家说:“近代计算的奇迹般的动力来自三项发明:印度计
数法,十进分数和对数。”这里所说的十进分数就是指小数。
最早使用小数的是中国人。公元世纪,我国魏晋时期刘徽在注《九章
算术》时就指出,开方不尽时,可用十进制分数(小数)来表示,比西方早
年。元朝刘瑾( 年左右)著《律吕成书》中记为:
把小数部分降低一格,可以说是世界上最早的小数表示法。
中国之外第一个应用小数的是阿拉伯人卡西,他用十进分数(小数)给
出了π的位有效数值。
在欧洲,比利时人斯蒂文于年第一次明确地阐述了小数的理论,他