文档介绍：第4章秩
本章先后讨论矩阵的秩及向量集的秩两个重要概念.
给出了矩阵的一个基本定理,并讨论了向量的线性
相关性及正交性的概念.
矩阵的秩
概念
定义1 对m n 矩阵A, 称其一切非退化方子
列式或者简称为子式,则定义1可以说成r (A)是A
的一切的非零子式的最高阶数.
矩阵的最高阶数 k 为A的秩(rank), 记作r (A), 并规定
若将A的任一方子矩阵的行列式称为A的子行
r (O) = 0 .
即若r (A) = k ,则A
至少有一个取非零值的k阶子式,而任一k + 1阶子
式(如果存在的话)的值必为零.
例1 求下列矩阵的秩:
(1)
(2)
(3)
.
(3) 若发现A 一个非零k阶子式,则必有r(A)≥k.
定一切高于k阶(如果存在的话)的子式必为零。
从定义及上例的讨论过程可以看出:
(1) 当且仅当A是零矩阵时,r (A) = 0 .
(2) (4-1)
(4)若r(A)=k,则A至少有一个非零的k阶子式,但不能说明A的所有k阶子式均不为零,然而可以断
反之,若A 的一切k阶子式全为0时,则必有r(A)<k.
时r(A)=n,故也将行列式不为零的矩阵(非退化阵)
称为满秩[矩]阵,并称退化阵为降秩[矩]阵.
(4-1)
(6) 若 A是n阶矩阵,则r(A)≤n, 当且仅当detA≠0
(5) 若A是 m n矩阵,则必有
当r(A)=m(A的行数)时,称为行满秩[矩]阵,
当r(A)=n(A的列数)时,称为列满秩[矩]阵.
为梯矩阵,并求出r(A) .
例2 说明
秩的计算
对于一般的m n矩阵A,它的秩虽然已有确切的
定义,但要求出其值却是很费事的.
这样,例2的简
办法,只适合于梯矩阵.
把一般的矩阵“变成”一个同秩的梯矩阵呢?回忆起
行列式的性质,就不难想象,矩阵经初等变换后秩
自然会产生这样的想法,能否
不变(即等价矩阵的秩相同);
而且每个矩阵必可通
理.
过有限次行初等变换而成为梯矩阵,这就是以下定
定理1
任一m n矩阵A经过有限次行初等
变换后秩不变.
推论1 任一m n矩阵A经有限次列初等变换
后秩不变.
推论2 设是任一 m n矩阵,而B是m(或)n阶
满秩矩阵,则必有
(或
)
(4-3)
(第二章第50页)引理任一m n矩阵 A必可
通过有限次行初等变换而化为梯矩阵.
例3 对矩阵
依定理证明中的方式用行初等变换(今后就简称为
行初等变换法),将其化为梯矩阵,并求秩.