文档介绍：矩阵范数赵彤鞍山师范学院数学系00级114005实数的绝对值和复数的模给出了实数和复数的“大小”。平面向量x,当其在直角坐标系中的分量为时,也用给出其大小的度量。在许多情况下,我们不仅需要定性地描述一个矩阵,而且需要对之进行定量地刻画。为此,我们引入矩阵的某些函数,他们在某种意义下给出了矩阵“大小”的量度,其作用相当于复数的模,我们统称这些函数为矩阵范数。矩阵范数一、(一般为实数域R或复数域C)上的线性空间,用表示按照某个法则确定的与向量x对应的实数,且满足:(1)非负性:当时,>0;当且仅当时,=0;(2)其次性:,为任意数;(3)三角不等式:对于V中任何向量、,都有;(1)当时,;(2);(3);(4).二、矩阵范数的定义矩阵空间是一个维的线性空间,将矩阵A看作线性空间中的向量,,矩阵之间还有乘法运算,,用表示按照某个法则确定的与矩阵对应的实数,且满足:非负性:当时,>0;当且仅当时,=0;(2)齐次性:,为任意复数;(3)三角不等式:对于任何两个同类型矩阵,都有;(4)矩阵乘法相容性:若与可乘,,可得到矩阵范数的又一定义,,,分别定义实数:(1);(2).:(1)当时,;当时,存在与使得,,,.对于,因此,由(1)定义的是中的矩阵范数.(2)当时,;当时,存在与使得,从而有;对于,有;对于,;对于,因此,由(2),:取,那么,但是从而,因为,所以,,、,如果,,,则从属向量的三种范数的矩阵范数依次是:(1);(2),为的最大特征值;(3).通常称,,依次为列和范数、:(1);(2);(3).证明:(1)对于函数而言,:;因此,是矩阵范数.(2)同理可证也是的矩阵范.(3)(=1,2,,),的第列为(=1,2,,),则有对上式第二项应用Cauchy不等式,,则,,、,且与都是酉矩阵,则,即给左乘或右乘以酉矩阵后,其值不变.(在时,和都是正交矩阵).证明:若记的第列(=1,2,,n),(或正交)相似的矩阵的F-范数是相同的,即若,则,:,:若范数与都与一固定范数,如范数满足上不等式的关系,,成立,,,便得不等式,,:对于上的任何一种从属范数,有,但对于一般的矩阵范数,由于,对于成立,,对,只要,:由于,可得,同理可证:,此即;下设为的一组基,且令,对于,,由取,则当时,再由刚证明过的式子,,列向量,则:(1)矩阵范数与向量的P-范数相容().证明:设,,则有,,.(2):设,则有,,=,,,试导出与矩阵的1-:由从属范数的定义可得: . 若可逆,给定中的矩阵范数,对于,定义实数,:当时,;当时,,从而;对于,有对于,有