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华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题
一(12分)设f(x)是区间I上的连续函数。证明:若f(x)为一一映射,则f(x)在区间I上严格单调。
二(12分)设
证明:若f(x), D(x)f(x) 在点x=0处都可导,且f(0)=0,则
三(16分)考察函数f(x)=xlnx 的凸性,并由此证明不等式:
四(16分)设级数收敛,试就为正项级数和一般项级数两种情况分别证明也收敛。
五(20分)设方程满足隐函数定理条件,并由此确定了隐函数y=f(x)。又设具有连续的二阶偏导数。
求
若为f(x)的一个极值,试证明:
当与同号时,为极大值;
当与异号时,为极小值。
对方程,在隐函数形式下(不解出y)求y=f(x)的极值,并用(2)的结论判别极大或极小。
六(12分)改变累次积分
的积分次序,并求其值。
七(12分)计算曲面积分其中s为锥面上介于的一块,为s的下侧法向的方向余弦。
华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题
简答题(20分)
用定义验证:;
;
计算
二(12分)设f(x)有连续的二阶导函数,且求f(0).
三(20分)
(1)已知为发散的一般项级数,试证明也是发散级数。
(2)证明在上处处收敛,而不一致收敛。
四(12分)设其中f为连续函数,f(1)=
五(12分)设D为由两抛物线与所围成的闭域。试在D内求一椭圆,使其面积为最大。
六(12分)设有连续二阶偏导数,有连续一阶偏导数,且满足证明:
七(12分)设为的周期函数,其周期可小于任意小的正数。证明若在上连续,则常数。
华东师范大学1999年攻读硕士学位研究生入学试题
,,
证明:收敛,并求其极限。
:若函数在区间I上处处连续,且为一一映射,则在I上为严格单调.
:
,且,证明在上不一致连续。
,且,,证明:.
。
通过计算验证:
利用(1)证明:.
,且当时,证明:
在上有界;
,
,为S的外点,证明:直线段至少与S的边界有一个交点。
华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题
一.(24分)计算题:
(1)
(2)
(3)设是由方程
,所确定的可微隐函数,试求Z.
二.(14分)证明:(1)为递推数列;
(2),n=1,2,….
三.(12分)设在中任意两点之间都具有介值性,而且在内可导,(正常数), 证明在点a右连续(同理在点b左连续).
四.(14分)设证明:
(1),n=2,3…;
(2)n=1,2,3….
五(12分)设S为一旋转曲面,由平面光滑曲线饶轴旋转而成。试用二重积分计算曲面面积的方法,导出S的面积公式为
(提示:据空间解几知道S的方程为)
六(24分)级数问题:
设,求。
设收敛,证明:
设为上的连续函数序列,且
证明:若在上无零点。则当充分大时在上也无零点,并有
华东师范大学2001年攻读硕士学位研究生入学试题
一.(30分)简单计算题.
1)验证:当时,与为等价无穷大量.
2)求不定积分。
3)求曲线积分:
其中有向曲线如图所示.
4)设为可微函数,
和方程
试对以下两种情形,分别求在点处的值:
(1)由方程确定了隐函数:
(2)由方程确定了隐函数:
二.(12分)求由椭球面与锥面所围立体的体积。
三.(12分)证明:若函数在有限区间内可导,但无界,则其导函数在内亦必有界.
四.(12分)证明:若绝对收敛,则亦必绝对收敛.
五(17分)设在上连续,
证明:
1)在上不一致收敛;
2)在上一致收敛。
六(17分)设函数在闭区间上无界,证明:
1)使;;
2)使得:在上无界。(若能用两种不同方法证得2),奖励5分)