文档介绍：一、(二阶线性递推式)定理2:对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。[来源:学,科,网]若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。例3:已知数列满足,求数列的通项公式。解法一(待定系数——迭加法)[来源:学科网]由,得,且。则数列是以为首项,为公比的等比数列,于是。把代入,得,[来源:学&科&网],[来源:学科网ZXXK],。把以上各式相加,得。。[来源:]解法二(特征根法):数列:,的特征方程是:。,。又由,于是故二、(分式递推式)定理3:如果数列满足下列条件:已知的值且对于,都有(其中p、q、r、h均为常数,且),那么,可作特征方程.(1)当特征方程有两个相同的根(称作特征根)时,若则若,则其中特别地,当存在使时,无穷数列不存在.(2)当特征方程有两个相异的根、(称作特征根)时,则,其中例3、已知数列满足性质::依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根,使用定理2的第(2)部分,则有∴∴:对于都有(1)若求(2)若求(3)若求(4)当取哪些值时,无穷数列不存在?解:作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第(1)部分解答.(1)∵对于都有(2)∵∴令,,当≤4,时,.(3)∵∴∴令则∴对于∴(4)、显然当时,(1)小题的解答过程知,时,数列是存在的,当时,则有令则得且≥2.∴当(其中且N≥2)时,:当在集合或且≥2}上取值时,:求下列数列的通项公式:,,求。(key:),且,求。(key:),,求。(key:),,求。(key:),,求。(key:),,.(key:时,;时,),(是非0常数).求.(key:();)(),给定,.求.(key:;若,上式不能应用,此时,附定理3的证明定理3(分式递推问题):如果数列满足下列条件:已知的值且对于,都有(其中p、q、r、h均为常数,且),那么,可作特征方程.(1)当特征方程有两个相同的根(称作特征根)时,若则若,则其中特别地,当存在使时,无穷数列不存在.(2)当特征方程有两个相异的根、(称作特征根)时,则,其中证明:先证明定理的第(1)①∵是特征方程的根,∴将该式代入①式得②③当,即=时,由②式得故当即时,由②、③两式可得此时可对②式作如下变化:④由是方程的两个相同的根可以求得∴将此式代入④式得令则故数列是以为公差的等差数列.∴其中当时,当存在使时,,(2)部分如下:∵特征方程有两个相异的根、,∴其中必有一个特征根不等于,不妨令于是可作变换故,将代入再整理得⑤由第(1)部分的证明过程知不是特征方程的根,故故所以由⑤式可得:⑥∵特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、,而方程与方程又是同解方程.∴将上两式代入⑥式得当即时,数列是等比数列,