文档介绍：信息安全数学基础习题答案
第一章整数的可除性
:因为 2|n 所以 n=2k,kZÎ
5|n 所以 5|2k ,又(5,2)=1,所以 5|k 即 k=5 k1 ,k1ÎZ
7|n 所以 7|2*5 k1 ,又(7,10)=1,所以 7| k1 即 k1=7 k2,k2ÎZ
所以 n=2*5*7 k2 即 n=70k2, k2ÎZ
因此 70|n
:因为 a3-a=(a-1)a(a+1)
当 a=3k,kZÎ 3|a 则 3|a3-a
当a=3k-1,kÎZ3|a+1 则 3|a3-a
当a=3k+1,kÎZ3|a-1 则 3|a3-a
所以 a3-a 能被 3 整除。
:任意奇整数可表示为 2 k0+1, k0ÎZ
2 2
(2k0+1) =4 k0 +4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1
由于 k0 与 k0+1 为两连续整数,必有一个为偶数,所以 k0 (k0+1)=2k
2
所以(2 k0+1) =8k+1 得证。
:设三个连续整数为 a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)=a3-a
由第二题结论 3|(a3-a) 即 3|(a-1)a(a+1)
又三个连续整数中必有至少一个为偶数,则 2|(a-1)a(a+1)
又(3,2)=1 所以 6|(a-1)a(a+1) 得证。
:构造下列 k 个连续正整数列:
(k+1)!+2,(k+1)!+3,(k+1)!+4,……,(k+1)!+(k+1),kZÎ
对数列中任一数课后答案网(k+1)!+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1) …2*1+1],i=2,3,4,…(k+1)
所以 i|(k+1)!+i 即(k+1)!+i 为合数
所以此 k 个连续正整数都是合数。
:因为 1911/2<14,小于 14 的素数有 2,3,5,7,11,13
经验算都不能整除 191 所以 191 为素数。
因为 5471/2<24,于 24 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23
经验算都不能整除 547 所以 547 为素数。
由 737=11*67,747=3*249 知 737 与 747 都为合数。
:存在。eg:a=6,b=2,c=9
+
:p1 p2 p3|n,则n=p1p2p3k,kNÎ
3 3 1/3
又p1≤p2≤p3,所以 n=p1p2p3k≥p1 即p1≤n
2
p1 为素数则p1≥2,又 p1≤ p2 ≤p3,所以 n=p1p2p3k≥2p2p3≥2p2
1/2
即p2≤(n/2) 得证。
:小于等于 5001/2 的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,依次删除这些素数
的倍数可得所求素数:
:反证法
假设 3k+1 没有相同形式的素因数,则它一定只能表示成若干形如 3k-1 的素数相
乘。(3 k1+1)(3 k2+1)=[(3k1+1) k2+ k1]*3+1 显然若干个 3k+1 的素数相乘,得
1
到的还是 3k+1 的形式,不能得出 3k-1 的数,因此假设不成立,结论得证。
同理可证其他。
:反证法
假设形如 4k+3 的素数只有有限个,记为 p1, p2,…, pn
因为 4k+3=4k`-1=4k-1 构造 N=4*p1*p2*…*pn-1≥3*p1*p2*…*pn
所以 N>pi (i=1,2,…,n)
N 为 4k-1 形式的素数,即为 4k+3 的形式,所以假设不成立。
原结论正确,形如 4k+3 的素数有无穷多个。
28.( 1 )解:85=1*55+30
55=1*30+25
30=1*25+5
25=5*5
所以(55,85)=5
(2)解:282=1*202+80
202=2*80+42
80=1*42+38
42=1*38+4
38=9*4+2
4=2*2
所以(202,282)=2
29.( 1 )解:2t+1=1*(2t-1)+2
2t-1=(t-1)*2+1
2=2*1
所以(2t+1,2t-1)=1
(2)解:2(n+1)=1*2n+2
2n=n*2
所以(2n,2(n课后答案网+1))=2
32.( 1 )解:1=3-1*2
=3-1*(38-12*3)
=-38+1 3* (41-1*38)
=13*41-14*(161-3*41)
=-14*161+55*-2*161)
=55*363+(-124)*(1