3-5群的自同构群.ppt

文档介绍：近世代数
§5 群的自同构群
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定理1
设M是一个有代数运算(叫做乘法)的集合,则M的
推论1 群G的全体自同构关于变换的乘法作成
例1 求Klein四元群
的自同构群.
全体自同构关于变换的乘法作成一个群,称为M
的自同构群.
一个群,这个群称为群G的自同构群,记为 AutG.
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定理2
无限循环群的自同构群是一个2阶循环群;n阶
为Euler函数.
证: 由于在同构映射下,循环群的生成元与生成
个生成元,从而其自同构群分别为2阶循环
阶群,其中
循环群的自同构群是一个
元相对应,而生成元的相互对应完全决定
了群中所有元素的对应,因此一个循环群有多
少个生成元就有多少个自同构.
由于无限循环群有两个生成元,n阶循环群有
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群和
阶群.
推论2 无限循环群的自同构群与三阶循环群的自同构群同构.
定理3 设G是一个群,
则
1)
是G的一个自同构,称为G的一个内自同构;
2) G的全体内自同构作成一个群,称为群G的内自同构群,记为InnG;
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3)
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定义1 对群G的所有自同构都不变的子群,亦即对
G的任何自同构
都有
的子群N,叫做G的一个特征子群.
特征子群一定是正规子群反之不成立.
定义2
态映射都不变,即对G的每个自同态映射
都有
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则称H为群G的一个全特征子群.
全特征子群一定是特征子群.
例2 群G的中心C是G的一个特征子群.
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