文档介绍：黎曼ζ函数ζ(s)的定义如下:设一复数s,其实数部份>1而且:它亦可以用积分定义:在区域{s :Re(s)>1}上,此无穷级数收敛并为一全纯函数。(上式中Re表示复数的实部。)。欧拉在1740考虑过s为正整数的情况,后来切比雪夫拓展到s>1。[1] 波恩哈德·黎曼认识到:ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域(s, s≠1)上的全纯函数ζ(s)。这也是黎曼猜想所研究的函数。虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关,它也出现在应用统计学中(参看齐夫定律(Zipf'sLaw)和齐夫-曼德尔布罗特定律(Zipf-MandelbrotLaw)),还有物理,以及调音的数学理论中。和素数的关系[编辑]主条目:证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式此函数和素数的关系已由欧拉所揭示:这是一个延展到所有的质数p的无穷乘积,被称为欧拉乘积。这是几何级数的公式和算术基本定理的一个结果。ζ(s)的零点很重要,因为特定的涉及到函数ln(1/ζ(s))的路径积分可以用来估算质数个数函数π(x)。这些路径积分用留数定理计算,所以必须知道被积式的奇异点。我们可以用莫比乌斯函数μ(n)表达ζ函数的倒数如下对于所有实部>1的复数s。这和上面ζ(2)的表达式一起可以用来证明两个随机整数互质的概率是6/π2。\frac{}{}==函数值==黎曼函数在s >1的情况ζ函数满足如下函数方程:对于所有C\{0,1}中的s成立。这里,Γ表示Γ函数。这个公式原来用来构造解析连续性。在s =1,ζ函数有一个简单极点其留数为1。上述方程中有sin函数,的零点为偶数s = 2n,这些位置是可能的零点,但s为正偶数时,为不为零的规则函数(Regularfunction),只有s为负偶数时,ζ函数才有零点,称为平凡零点。当s为正整数[编辑]主条目:巴塞尔问题欧拉也能计算ζ(2k),对于偶整数2k,他使用公式其中B2k是伯努利数。从这个,我们可以看到ζ(2) =π2/6,ζ(4)=π4/90,ζ(6)=π6/945等等。(序列A046988/A002432列在OEIS)。这些给出