文档介绍：双曲线专题复习讲义
★知识梳理★
1. 双曲线的定义
(1)第一定义:当时, 的轨迹为双曲线;
当时, 的轨迹不存在;
当时, 的轨迹为以为端点的两条射线
(2)双曲线的第二义
平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为双曲线
2. 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程
性
质
焦点
,
焦距
范围
顶点
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
离心率
准线
渐近线
与双曲线共渐近线的双曲线系方程为:
与双曲线共轭的双曲线为
等轴双曲线的渐近线方程为,离心率为.;
★重难点突破★
“陷阱”
问题1:已知,一曲线上的动点到距离之差为6,则双曲线的方程为
点拨:一要注意是否满足,二要注意是一支还是两支
,

问题2:双曲线的渐近线为,则离心率为
点拨:当焦点在x轴上时,,;当焦点在y轴上时,,
★热点考点题型探析★
考点1 双曲线的定义及标准方程
题型1:运用双曲线的定义
[例1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
【解题思路】时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的.
[解析]如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020)
设P(x,y)为巨响为生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,A
B
C
P
O
x
y
依题意得a=680, c=1020,
用y=-x代入上式,得,∵|PB|>|PA|,
答:巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”
【新题导练】
、F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2,则△PF1F2的面积为( )
A. C.
解析: ①
又②
由①、②解得
直角三角形,
故选B。
,为双曲线的左
焦点,双曲线上的点与关于轴对称,
则的值是( )

[解析] ,选C
3. P是双曲线左支上的一点,F1、F2分别是左、右焦点,且焦距为2c,则的内切圆的圆心的横坐标为( )
(A) (B) (C) (D)
[解析]设的内切圆的圆心的横坐标为,
由圆的切线性质知,

题型2 求双曲线的标准方程
[例2 ] 已知双曲线C与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).求双曲线C的方程.
【解题思路】运用方程思想,列关于的方程组
[解析] 解法一:设双曲线方程为-==2.
又双曲线过点(3,2),∴-=1.
又∵a2+b2=(2)2,∴a2=12,b2=8.
故所求双曲线的方程为-=1.
解法二:设双曲线方程为-=1,
将点(3,2)代入得k=4,所以双曲线方程为-=1.
【名师指引】求双曲线的方程,关键是求a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e及准线)之间的关系,并注意方程思想的应用.
【新题导练】
,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为;
[解析]设双曲线方程为,
当时,化为,,
当时,化为,,
综上,双曲线方程为或
,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.
[解析] 抛物线的焦点为,设双曲线方程为,,双曲线方程为
,,,动圆与直线切于点,过、与圆相切的两直线相交于点,则点的轨迹方程为
A. B.
C.(x > 0) D.
[解析],点的轨迹是以、为焦点,实轴长为2的双曲线的右支,选B
考点2 双曲线的几何性质
题型1 求离心率或离心率的范围
[例3] 已知双曲线的左,右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的最大值为.
【解题思路】这是一个存在性问题,可转化为最值问题来解决
[解析](方法1)由定义知,又已知,解得,,在中,由余弦定理,得,要求的最大值