文档介绍：第四节
一、立体体积
二、曲面的面积
三、物体的质心
四、物体的转动惯量
五、物体的引力
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重积分的应用
第九章
1. 能用重积分解决的实际问题的特点
所求量是:
具有可加性。
从定积分定义出发建立积分式
用微元分析法(元素法)
分布在有界闭域上的整体量对区域
3. 解题要点
画出积分域、选择坐标系、确定积分序、
定出积分限、计算要简便
2. 用重积分解决问题的方法
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一、立体体积
曲顶柱体的顶为连续曲面
则其体积为
占有空间有界域的立体的体积为
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任一点的切平面与曲面
所围立体的体积 V .
解: 曲面
的切平面方程为
它与曲面
的交线在 xoy 面上的投影为
(记所围域为D )
在点
例1. 求曲面
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例2. 求半径为a 的球面与半顶角为的
内接锥面所围成的立体的体积.
解: 在球坐标系下空间立体所占区域为
则立体体积为
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二、曲面的面积
设光滑曲面
则面积 A 可看成曲面上各点
处小切平面的面积 d A 无限积累而成.
设它在 D 上的投影为 d,
(称为面积元素)
则
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故有曲面面积公式
若光滑曲面方程为
则有
即
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若光滑曲面方程为
若光滑曲面方程为隐式
则
则有
且
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例3. 计算双曲抛物面
被柱面
所截
解: 曲面在 xoy 面上投影为
则
出的面积 A .
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例4. 计算半径为 a 的球的表面积.
解:
设球面方程为
球面面积元素为
方法2 利用直角坐标方程. (见书 P109)
方法1 利用球坐标方程.
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