文档介绍：第四节
一元复合函数
求导法则
本节内容:
一、多元复合函数求导的链式法则
二、多元复合函数的全微分
微分法则
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多元复合函数的求导法则
第八章
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
处偏导连续,
在点 t 可导,
则复合函数
证: 设 t 取增量△t ,
则相应中间变量
且有链式法则
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有增量△u ,△v ,
( 全导数公式)
(△t<0 时,根式前加“–”号)
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若定理中
说明:
例如:
易知:
但复合函数
偏导数连续减弱为
偏导数存在,
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则定理结论不一定成立.
推广:
1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
设下面所涉及的函数都可微.
2) ,
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又如,
当它们都具有可微条件时, 有
注意:
这里
表示固定 y 对 x 求导,
表示固定 v 对 x 求导
口诀:
分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
与
不同,
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例1. 设
解:
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例2.
解:
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例3. 设
求全导数
解:
注意:多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与
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验证解的问题中经常遇到,
下列两个例题有助于掌握
这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
为简便起见, 引入记号
例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
求
解: 令
则
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