文档介绍：关于黄金比例与斐波纳契数列
好玩的数学之一
大庆铁人中学数学组冉春莲
引子——题外话
《》整个的陷阱可以说是一个数学和哲学的双重陷阱。书中的整个逻辑过程对一个热爱数学和古代希腊哲学的人来说完全是很普通的事情,没有更多的神秘之处。然而,对一般人来说,这些引人入胜的巧合足以令人感到深不可测——我们总是对自己不了解的东西感到神秘。而数学会解释这些神秘,变成美丽的数学符号,或是其他,比如说。
这个其貌不扬的希腊字母引起了生物学家、画家、音乐家、历史学家、建筑家乃至神秘主义者的关注,从远古到现在,对它的探索从未停止。
这就是数学的魅力。一切科学起源于、依赖于数学。
毕达哥拉斯学派——五角星之谜
毕达哥拉斯是古希腊的数学家和哲学家。他的大批追随者被称为毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯的伟大贡献之一是毕达哥拉斯定理,我们叫做勾股定理。(趣味数学中有关于这个定理的诸多证明方法,现在也仍然在继续)
他们认为这个世界是一个有理数的世界。
毕达哥拉斯学派的标志是一个五角星。
然而,问题出现了,正是从这五角星里产生了无理数。
在右边的正五边形中,将所有顶点用对角线连接可以得到一个五角星。五角星中央是一个小的正五边形,同样连接对角线可以得到一个更小的五角星,这个过程可以无限进行下去。
应该注意到,
柏拉图立体
柏拉图是古希腊思想家、天体物理学家,或者,也可以称为几何学家。
柏拉图是毕达哥拉斯学派人士的学生。
柏拉图非常偏爱几何。在他的学校入口题着一行字:“不懂几何者勿入我门”。
柏拉图曾经对宇宙的起源和运动过程作了大量讨论和研究。他试图用五个多面体来解释物质的结构。但就数学而言,这些立体与黄金比例关系匪浅(现在看来颇觉可笑,事实上当我们发现黄金比例与世界有如此的关联之后,这完全是可以理解的)
他的传世名言:上帝是一位几何学家。
土
火
空气
水
欧几里德的极限中间比
欧几里德是亚历山大城亚历山大学院的第一批教师——数学教师。
欧几里德可能不是最伟大的数学家,但他的《几何原本》绝对是世界上最伟大和影响最广的数学教材之一,一直被原封不动地使用到十九世纪中叶——我们知道,那个时候建立在微积分一类现代数学基础上的解析几何正蓬勃发展。
《几何原本》有这样一个简单的几何问题,是一个分线段的问题:将一条线段按极限中间比分割后,这时整条线段和较长部分的比值等于较长部分和较短部分的比值。
我们可以通过一个方程来解决这个问题。设BC=1,AC=
则,即,解得,因此,
极限中间比为也就是黄金比例
我们的黄金比例
事实上, 的倒数,
而的平方
黄金比例还有诸多迷人的表示方法,比如:
不管怎么说, 首先是一个极其有趣的数字:

,由此出发, 的倒数
, 的平方
无限平方根:设若,那么:
无限连分式:设,
由于这个连分数的无穷性,我们可以得到等式:
这又是一个定义黄金比例的式子。
,右边的根式是同样的无穷根式,
因此我们有,也就是说
在任意一对母子长方形上各画一条对角线,它们将在一点交叉:
弧DE是以DF为半径的四分之一圆弧,同样的,将所有正方形的内切四分之一圆弧连接起来形成的螺旋我们称为对数螺旋,这一螺旋会无限接近对角线的交点但是永远不能到达;
无限缩小的黄金矩形也逐渐会聚向这一点但是永远也不能到达;
这一点被称为“上帝之眼”。
黄金矩形:
矩形ABCD边AB与边AD之比符合黄金比例,从中切去正方形AEFD,得到的EBCF是一个新的黄金矩形,与原矩形对应边比例恰为,
这个过程可以无限进行下去;
斐波纳契及斐波纳契数列之一关于兔子繁殖的问题
斐波纳契数列之起源
——关于兔子繁殖的问题:
将一对兔子放进一个四周都是墙的地方。假定一对兔子每月生一对小兔,新生的小兔子过两个月之后又开始生小兔子,那么一年之后这墙内应该有多少对兔子?
理想数学状况下:每对兔子均能按期正常生殖,保持健康。
斐波纳契是中世纪的意大利数学家。
他引进了阿拉伯数字及其运算法则来代替复杂的罗马数字。
斐波纳契在他的《算盘书》中给出了许多实际问题的解决办法。由于家庭影响,他相对注重实用性。
关于兔子繁殖的问题
某月大兔子的数目等与上月大兔子的数目加上在这个月成熟的上月小兔子数目。上月小兔子的数目恰好为上上个月大兔子的数目。因此,任何一个月里大兔子的数目恰好是本月前两个月大兔子数目的和。这个数目符合如下数列:
1,1,2,3,5,8,13,…
每月小兔子数目恰好为上个月大兔子的数目。除去第一个月的数字之外,从第二个月起,它符合大兔子数目的序列:
1,1,2,3,5,8,13,…
这两个数列,除前两项之外每一项都等于前两项的和,被称为斐波纳契数列。
因此,任何一月墙内兔子数目应该为:
1,2,3,5,8,13,21,…