文档介绍：必修1
第一章、集合
定义1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素在集合A中,称属于A,记为,否则称不属于A,记作。
例如,通常用N,Z,Q,B,Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数},分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集:对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,则A叫做B的子集,记为,例如。规定空集是任何集合的子集,如果A是B的子集,B也是A的子集,则称A与B相等。如果A是B的子集,而且B中存在元素不属于A,则A叫B的真子集。
便于理解:包含两个意思:①A与B相等、②A是B的真子集
定义3 交集,
定义4 并集,
定义5 补集,若称为A在I中的补集。
定义6 集合记作开区间,集合
记作闭区间,R记作
定义7 空集∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
补充知识点对集合中元素三大性质的理解
(1)确定性
集合中的元素,,要么,要么,:“所有大于100的数”组成一个集合,“较大的整数”就不能构成一个集合,,“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合.
(2)互异性
对于一个给定的集合,,:由,组成一个集合,则的取值不能是或1.
(3)无序性
:由组成一个集合,也可以写成组成一个集合,它们都表示同一个集合.
学****集合表示方法时应注意的问题
(1),而是含有一个元素的集合,二者的关系是
.
(2),而是含有元素的集合.
(3)在用列举法表示集合时,一定不能犯用{实数集}或来表示实数集这一类错误,因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思.
用特征性质描述法表示集合时,要特别注意这个集合中的元素是什么,它应具备哪些特征性质,:
集合中的元素是,这个集合表示二元方程的解集,或者理解为曲线上的点组成的点集;
集合中的元素是,这个集合表示函数中自变量的取值范围;
集合中的元素是,这个集合表示函数中函数值的取值范围;
集合中的元素只有一个(方程),它是用列举法表示的单元素集合.
(4)常见题型方法:当集合中有n个元素时,有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集。
第二章、函数
定义1 映射,对于任意两个集合A,B,依对应法则f,若对A中的任意一个元素x,在B中都有唯一一个元素与之对应,则称f: A→B为一个映射。
定义2 函数,映射f: A→B中,若A,B都是非空数集,则这个映射为函数。A称为它的定义域,若x∈A, y∈B,且f(x)=y(即x对应B中的y),则y叫做x的象,x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围,如函数y=3-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.
定义3 反函数,若函数f: A→B(通常记作y=f(x))是一一映射,则它的逆映射f-1: A→B叫原函数的反函数,通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是:在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y),然后将x, y互换得y=f-1(x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:函数y=的反函数是y=1-(x0).
补充知识点:
定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。
定理2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。
定义4 函数的性质。
(1)单调性:设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2∈I并且x1< x2,总有f(x1)<f(x2)(f(x )>f(x2)),则称f(x)在区间I上是增(减)函数,区间I称为单调增(减)区间。
(2)奇偶性:设函数y=f(x)的定义域为D,且D是关于原点对称的数集,若对于任意的x∈D,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数;若对任意的x∈D,都有f(-x)=f(x),则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。
(3)周期性:对于函数f(x),如果存在一个