文档介绍：:..重点和难点关于矢量的定义、运算规则等内容可让读者自学。重点讲解标量与矢量、常矢与变矢的异同;梯度、散度、旋度的物理概念和数学表示;格林定理和亥姆霍兹定理的涵义;以及三种常用坐标系的构成,线元、面元、体元和矢量在三种坐标系中的表示。考虑到高年级同学已学过物理学,讲解梯度、散度和旋度时,应结合电学中的电位、积分形式的高斯定律和安培环路定律等内容。讲解无散场和无旋场时,也应以电学中已学过的静电场和恒定磁场的基木特性为例。主教材的特色之一是以亥姆霍兹定理为依据逐一介绍电磁场,因此该定理应着重介绍。但是由于证明过程较繁,还要涉及/函数,如果学时有限可以略去。亥姆霍兹定理严格地定量描述了自由空间中矢量场与其散度和旋度Z间的关系,应该着重指出散度和旋度是产生矢量场的惟一的两个源,强调散度和旋度是研究矢量场的首要问题。此外,还应说明无限大的自由空间中仅可存在无散场或无旋场,不可能存在既无散又无旋的矢量场。这种既无散乂无旋的矢量场只能存在于局部的无源区中。讲解三种坐标系时,应讨论哪些坐标轴的单位矢量是常矢,哪些坐标轴的单位矢量是变矢。题解1-1已知三个矢量分别为A=ex+2^v-3er;B=3ex+ey+2ez;C=2ex-ez。试求①|A|,|B|,|C|;②单位矢量e“,;③;④AxB;⑤(AxB)xC及(AxC)xB;(6)(AxC)-B(AxB)-CoM+A;+4;=Vl2+22+(-3)2=V14B\=+B:+B;=V32+l2+22=V14二徑+C;+C;=J,+02+(-1)2”+2j—3乞BV14V14V” 『z,_CC1 \"iZfTT方2—)A-B=AB+AB+A_B_=3+2-6=-lxxyy-z(AxB)xC=72-110-5-11le丫—3ey+-3-1一2乞一5匕,一4冬(AxC)xB=-23-51e=-42-6er一込+13乞x y 厶5ez54&•*止—12-3ByB二312AxB==lex-lley-5ez⑥(AxC)-B=(-2)x3+(-5)xl+(-4)x2=-19(4xB).C=7x2+0+(-5)x(-1)=19。1-2已知2=0平面内的位置矢量A与X轴的夹角为位置矢量B与X轴的夹角为0,试证cos(a-0)=cosacos0+sinqsin0证明由于两矢量位于z=0平面内,因此均为二维矢量,它们可以分别表示为A=ex\A\cosa+ev|?l|sin(7B=exBcos0+e、Bsin/3已知AB=ABcos(a-0),求得COS(Q_#)=\ABcosqcos0+同同sinosin0即 cos(a-0)=cosacos0+sinasin01-3Q知空间三角形的顶点坐标为片(0,1,-2),马(4,1,-3)及厶(6,2,5)。试问:①该三角形是否是直角三角形;②该三角形的面积是多少?解由题意知,三角形三个顶点的位置矢量分别为P\=乞-2冬;P2=4ex+ey-3ez; P3=6ex4-2ey4-5ez那么,由顶点凡指向尸2的边矢量为PT二4乞-耳同理,由顶点卩2指向Pi的边矢量由顶点卩3指向P1的边矢量分别为厶一4=2®+竹,+随 P,-P3=-6ex-ey-le2因两个边矢量(P2-P,)-(P3-P2)=0,意味该两个边矢量相互垂直,所以该三角形是直角三角形。因 £-片|=J452=币\P3-P2\=a/22+12+82=V69,所以三角形的面积为S=-|P2~P^P3~P2\=-4已知矢量A=exy+evx,两点P\丿夂巴的坐标位置分别为好(2,1,-1)及2,-l)o若取P,及卩2Z间的抛物线X=2/或直线P禺为积分路径,试求线积分rA-d/oJ”2解①积分路线为抛物线。已知抛物线方程为x=dx=4ydy,贝lj2一14Adl=『(pdx+xd尹)=『Obdy+2y2d尹)=6y2dy=2y3②积分路线为直线。因斥,厶两点位于z=-l平面内,过人,鬥两点的直线方程为=—(x-2),即6尹=x+4,8—2dx=6dy9则6尹d尹+(6y_4)d尹=(6尹2创:1-5设标量①-xy2+yz3,矢量A=2ex+2ev-e^,试求标量仏 y £函数⑦在点(2,-1,1)处沿矢量A的方向上的方向导数。解已知梯度V(P=ex6①乔+◎'6①——+sSy50dz=^xy2+ev(2xy+z2)+e23yz2那么,在点(2,-1,1)处O的梯度为V(P=ex-3ey-3ez因此,标量函数0在点(2,-1,1)处沿矢量4的方向上的方向导数为▽⑦•勺=(乞-3务_3匕)•(2乞+2ey-ez)/3=~1-6试证式(1・4・11),式(1・4・12)及式(1・4・13)。证明