文档介绍：实验报告-数据滤波和数据压缩实验————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 实验题目:使用Haar小波和傅里叶变换方法滤波及数据压缩1实验目的(1)掌握离散数据的Haar小波变换和傅里叶变换的定义,基本原理和方法(2)使用C++实现数据的Haar小波变换和离散傅里叶变换(3)掌握数据滤波的基本原理和方法(4)掌握使用Haar小波变换和离散傅里叶变换应用于数据压缩的基本原理和方法, (1)平均,细节及压缩原理 设{x1,x2}是一组两个元素组成的信号,定义平均与细节为,。则可以将{a,d}作为原信号的一种表示,且信号可由{a,d}恢复,,。 由上述可以看出,当x1,x2非常接近时,d会很小。此时,{x1,x2}可以近似的用{a}来表示,由此实现了信号的压缩。重构的信号为{a,a},误差信号为。因此,平均值a可以看做是原信号的整体信息,而d可以看成是原信号的细节信息。用{a}近似的表示原信号,可以实现对原信号的压缩,而且丢失的细节对于最终信号的重构不会有重大影响。对于多元素的信号,可以看成是对于二元信号的一种推广。 (2)尺度函数和小波方程 在小波分析中,引入记号,其中,表示区间[1,0]上的特征函数。定义 称为Haar尺度函数。由上式可知,都可以由伸缩和平移得到。 小波分析中,对于信号有不同分辨率的表示,当用较低分辨率来表示原始信号时,会丢失细节信息,需要找到一个函数来描述这种信息,该函数称之为小波函数。基本的小波函数定义如下: 则。称为Haar小波。称为两尺度方程,称为小波方程。(3)Haar小波变换计算方法设是一个长度为(n>1)的离散信号序列,记为,该序列可以用如下的带有尺度函数来表示:一次小波分解的结果: 对上式积分,由尺度函数的正交性,可得。令k=0,得到。一般的,有 同理 (1)一维连续函数的傅里叶变换定义设f(t)为连续的时间信号,则定义为f(t)的傅里叶变换,其反变换为。(2)一维离散傅里叶变换对连续的时间信号f(t)等间隔采样,得到离散序列f(n)。假设采样N次,则序列表示为。令n为离散变量,u为离散频率变量,则一维离散傅里叶变换及其反变换定义:傅里叶变换的数学性质中,最重要的一点是:一个在时域或空域上看起来很复杂的信号(比如声音或图像)通常在频域上只集中在很小一块区域内,而很大一部分数值都接近于零。即一个在空域中看起来占满全空间的信号,从频域中很可能只占用了极小一块区域,而大部分频率是被为零的。这就得到一个极为实用的结论:一个看起来信息量很大的信号,其实可以只用极少的数据就可加以描述。只要对它先做傅里叶变换,然后只记录那些不接近零的频域信息就可以达到数据压缩的目的。(3)快速傅里叶变换FFT原理FFT的基本思想:将大点数的DFT分解为若干个小点数DFT的组合,从而减少运算量。令,则F(u)可改写为。令N=2M,其中M为一正整数。带入式中,得到令,则有,上述推导说明:对一个长度为N的序列进行傅里叶变换可以通过将其划分为2个N/2的序列进行傅里叶变换,对于N/2的傅里叶变换,可划分为两个N/4的变换,这一过程不断迭代,知道两点的序列为止,可计算出该序列的傅里叶变换。(4)时间抽取的基2FFT蝶形算法对于(3)中的计算方法,可以采用蝶形运算符号来表示。本实验中采用的算法是时间抽取的基2FFT算法实现快速傅里叶变换。 (1)数据压缩比 设原始信号f(n)的数据量大小为S,经过数据压缩后,信号的数据量变为M,一般情况下M<S。则数据压缩比率的定义为: 由上式可知,数据压缩得越小,其数据压缩比越大。 (2)数据失真度 对于压缩后的数据,可以采用反变换等方式还原信号。设原信号为f(n),还原信号为f1(n),则我们定义还原信号与原始信号的差异为数据失真度。显然,数据恢复越接近原始信号,数据失真度越小。(1)Haar小波方法步骤读入原始数据f(n)对原始数据f(n)进行小波变换。对原始数据进行不同层级(分辨率)下的小波变换,得到不同的小波变换结果[An,Dn]对于上步中的小波变换结果,把细节分量Dn置为0,即滤波得到压缩数据[An]对于滤波结果[An],通过小波逆变换,恢复数据计算恢复数据与原始数据的差异,进行压缩评价(2)离散傅里叶变换步骤读入原始数据f(n)对原始数据f(n)进行离散傅里叶变换。使用蝶形算法计算傅里叶变换结果F(u)对F(u)进行滤波,保留低频成分,舍弃高频成分,即得到原始数据的近似表示对滤波结果的低频数据,高频分量恢复为零值,使用傅里叶反变换,恢复数据计算恢复数据和原始数