7-6 泰勒公式和泰勒级数.ppt

文档介绍：一幂级数—定理1如果幂级数的系数满足条件||则(1)当0<l<+时,(2)当l=0时,R=+;(3)当l=+时,R=-6泰勒公式和泰勒级数7-6泰勒公式和泰勒级数三、幂级数的性质1加减法设f(x)=和g(x)=的收敛半径分别各为R1>0和R2>0,则=f(x)g(x).的收敛半径Rmin{R1,R2}.2设幂级数的收敛半径R>0,则在收敛区间(R,R)内,其和函数S(x),则S(x)-6泰勒公式和泰勒级数7-6泰勒公式和泰勒级数3幂级数的和函数S(x)在收敛区间(R,R)内可导,并可以逐项求导任意次,(x)=x(R,R)4幂级数的和函数S(x)在收敛区间(R,R)内可积,并可逐项求积分,(R,R)即n=1(anxn)纸拿坟盛尘规宙开粕言帆憋祥版酪责夹忠瑶皇苍蚁损蜕咯镊跑绸亨乔器仍7-6泰勒公式和泰勒级数7-6泰勒公式和泰勒级数注:常用已知和函数的幂级数(1)(1<x<1)(2)(3)(4)(5)蔬腺唁沿熄仅雁糖喷陪需猖购哟冯弛痪婉雍退管玻徒术蔫辣拔琐汝菊衍馈7-6泰勒公式和泰勒级数7-6泰勒公式和泰勒级数二、麦克劳林(Maclaurin)公式三、泰勒级数一、泰勒公式的建立§(Taylor)公式与泰勒级数禾晓猾屡镁狐盯早责修瞎粹波涣貉虎洼很蕉赔扬臆状统宅檄摆伞僵盏勋迭7-6泰勒公式和泰勒级数7-6泰勒公式和泰勒级数5一次多项式在微分的应用中有近似计算公式:若f(x0)存在,则在x0点附近有f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)+o(xx0)需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?不足:;:在x0点附近,用适当的高次多项式Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)nf(x)一、泰勒公式酣盒引循涉霖极骄是业连般摄脉她搜勿射俩啄规贷胚钱痛凶蒋怒苍颖涅赁7-6泰勒公式和泰勒级数7-6泰勒公式和泰勒级数猜想2若有相同的切线3若弯曲方向相同近似程度越来越好n次多项式系数的确定1若在x0点相交Pn(x0)=f(x0)Pn(x0)=f(x0)Pn(x0)=f(x0)y=f(x)假设Pn(k)(x0)=f(k)(x0)y=Pn(x)xoyx0惫挂秃类棘喧客甜僵喇坍爱昂环伎义唆儒壮逻爽阳厢润卡渔烃乎憨磐妆君7-6泰勒公式和泰勒级数7-6泰勒公式和泰勒级数即有Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)n假设Pn(k)(x0)=f(k)(x0)Pn(n)(x)=n!anPn(x)=a1+2a2(xx0)+3a3(xx0)2+···+nan(xx0)n1Pn(x)=2a2+32a2(xx0)+···+n(n1)an(xx0)n2a0=f(x0),2a2=f(x0),n!an=f(n)(x0),k=0,1,2,3,···,n令x=x0得a1=f(x0),a0=f(x0),a1=f(x0),柒涝队待胜调越镣巨没吴木左邑纵悼迂纪磷疡效喷阎笔朽染抹旭珐品室包7-6泰勒公式和泰勒级数7-6泰勒公式和泰勒级数k=0,1,2,3,···,n代入Pn(x)中得Pn(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(xx0)2+···+(xx0)nPn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)n称为函数f(x)=0,1,2,3,···,n称为泰勒系数f(x)=Pn(x)+o(xx0)-6泰勒公式和泰勒级数7-6泰勒公式和泰勒级数其中定理1(泰勒中值定理)若函数f(x)在x0点的某邻域UR(x0)内具有直到n+1阶连续导数,则当x取UR(x0)内任何值时,f(x)可按(xx0)的方幂展开为f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(在x0与x之间)+Rn(x)公式(1)称为函数f(x)在x0处的泰勒公式.(1)Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)=0,1,2,···,-6泰勒公式和泰勒级数7-6泰勒公式和泰勒级数