文档介绍：(三)函数周期性与对称性
知识点:
(a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a-x) = 2b
定理2. 函数的图像关于直线x = a对称的充要条件是
f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x)
推论:函数的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (-x)
满足条件的函数的图象关于直线对称。
定理3. ①若函数图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b),则是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
②若函数图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称(a≠b),则是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
③若函数图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b),则是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
定理4. 函数与y = 2b-f (2a-x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。
定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。
②函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。
③函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像关于直线x-y = a成轴对称。
推论:函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
定理6. ①函数y = f (x)与y = f (-x)的图像关于直线x = 0成轴对称。
②函数y = f (x)与y = -f (x)的图像关于直线y = 0成轴对称。
③函数y = f (x)与y = -f (-x)的图像关于原点成中心对称。
④函数y = f (x) 与y = f (∣x∣) 的图像的关系。的图象先保留在轴右方的图象,擦去轴左方的图象,然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。
⑤函数y = f (x) 与y =∣ f (x)∣的图像的关系。的图象先保留原来在轴上方的图象,作出轴下方的图象关于轴的对称图形,然后擦去轴下方的图象得到;
组题:
:f (10+x)为偶函数,且f(5-x) = f (5+x),则f (x)一定是( A )
,也是周期函数 ,但不是周期函数
,也是周期函数 ,但不是周期函数
(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)= f(1-x),当-1≤x≤0时,f (x) = -x,则f ( ) = _________
3. 设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)= -f(x),当0≤x≤1时,f (x) = x,则f ( ) = ( B )
A . B.- D.-
=f(x),在(-∞,)上是增函数,且函数 y=f(x+)是偶函数,当x1<,x2>且时,有
(2-x1)> f(2-x2) (2-x1)= f(2-x2)
(2-x1)< f(2-x2) D.-f(2-x1)< f(x2-2)
,且的图象关于直线对称,则=_________