文档介绍：巧用数形结合妙解代数问题梁军财(陈仓区天王高中,陕西宝鸡 721305)摘要:目的 本文试图就代数问题的几何化解决谈一些常用的方法和解题思路,以期发展学生思维,提高学生数学解题能力,并能给同行以借鉴。方法对各种可以用图形解决的代数问题全面、直观进行展示。结果能更方便快捷的解部分代数问题。结论 善于使用数形结合的思想方法,达到锻炼学生思维的目的。关键词:巧用;数形结合;代数问题,解题方法数学是一门思想方法的科学,分析类比、函数方程、抽象概括,演绎归纳、分类讨论、数形结合等在高中数学学****中尽显淋漓尽致。发展学生的思维,培养学生正确的解题方法是我们高中数学教学必须首先解决的问题。解析几何的创立极大的推动了数学的发展,其解题的思想核心就是数形结合。它的运用使我们对一些抽象的难以想象的几何问题,可以通过建立坐标系,列方程解方程,达到方便的用代数方法去解决;同时对于一些复杂的运算量较大的或者无法计算解答的代数问题,用其几何意义结合图象,也可以顺畅的解决。但我们在教学中往往只重视几何问题的代数化解决,而对于代数问题往往忽视其几何意义分析,忽视了几何方法的简洁性和有效性,这极大的阻碍了学生的直觉思维和创造思维的发展。影响了学生数学学****方法的形成,使得学生思维变得僵化呆板,严重影响了数学成绩的提高。笔者本文就代数问题的几何化解决谈一些简单的应用,希望能给大家以借鉴。1、构造两点距离,巧求无理函数的最值。例求函数y=+的最小值。本题若用代数方法直接求值,显然非常困难,若将题目变形为,构造两点M(x,0)、P(0,1)和同一点M(x,0)、Q(-1,2),则易知上式就为两点M、P距离与两点M、Q距离的和。题目就化归成了在平面直角坐标系中求一动点M(x,0)使它到两定点P、Q距离之和最小的问题。而动点M又在x轴上,问题变得非常容易,只须作P的对称点(0,—1),可证到Q的距离为x轴上的点M,它到P、Q两点距离最小,为。2、构造直线斜率,巧求代数式的取值范围。例实数满足方程,求的取值集合。因实数x、y满足,所以点(x、y)是圆C:上的动点,记此点为P,则恰好是直线OP的斜率,设=k,则OP的方程为y=kx,代入圆C的方程得,因为点P在圆C上,也在直线OP上,即直线与圆有公共点,所以△=≥0,由此得,即—≤≤。也可以用直线和圆相切使得斜率取得最大最小值,从而求出k的范围。3、利用直线和圆的位置关系,巧求方程中字母的取值范围。=kx+2只有一个实根,=0      =0或k>>1或k<-1    =0或k>1或k<-1若用代数方法,显然非常困难,但如画出函数y=与函数y=kx+2的图象,利用上半圆弧与直线只有一个公共点,调整直线的走向,则易得答案为D。4、利用三角函数和对数函数的图象,巧求方程根的个数。例求方程lgx=sinx根的个数。本题无法用代数方法****作,可考虑画出函数y=lgx和y=sinx的图象,因为sinx的最大值为1,而lgx=1时x=10,所以交点必在x=10的左侧,观察图象,、利用绝对值的几何意义,巧求不等式中字母范围。例不等式(|x—1|+|x+8|)+a>0使得x取一切实数时恒成立,求a的范围。本题若用代数方法解须考虑两个绝对值和的范围,脱去绝对值符号须分类讨论,较麻烦,如果用绝对值的几何意义,可知真数位置上两个绝对值的和表示数轴上到两点1、—8和距离的和,显然,和不小于9,故(|x—1|+|x+8|)不小于2,要使左端大于0恒成立,只须a>—2。6、利用基本函数的图像,巧解无理不等式。例解不等式。本题可用等价转化或换元法来解,但都不是很方便。若作出和的图象,从图象不难看出的范围为,其中是两图象交点的横坐标。解方程得=2(负值应舍去,它不在函数 的定义域内)所以原不等式的解集为。7、利用圆与直线规划的思想,巧求函数的值域。例求函数y=+的值域。本题可用三角代换的思想去作,但代换时须考虑既要脱去根号,又要保证字母进行运算后和为常数1比较麻烦。用数形结合的方法,设为新元,为另一新元,则原题就可化成一个椭圆和一条直线的问题,直线和椭圆相切可使y取到最大最小,从而得函数的值域;更方便时,我们可设为u,为v,这样原题就可化为,变成圆和直线的问题,当圆与直线相切时,可说明y将取到最大和最小。将v=y—u代入中,△=0,或用坐标原点到直线的距离小于等于圆的半径,得到其值域为[,]。8、利用圆的参数方程和斜率的概念,巧求三角函数角所在区间。例当函数取最小值时,x的值所在的区间是A    B    C   D   ,所以坐标为的点A在单位圆上,于是y的几何意义为上半单位圆周上的点A与点B(3,0)连线斜率的2倍。如图所示,易见这种直线与正x轴的夹角均大于,