文档介绍：第5讲同余的概念和性质解题思路:理解并熟记同余的性质,运用同余性质把数化小、化易。同余定义:若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为: a≡b(modm).性质1:若a≡b(modm),b≡c(modm),那么a≡c(modm),(传递性)。★性质2:若a≡b(modm),c≡d(modm),那么a±c≡b±d(modm),(可加减性)。★性质3:若a≡b(modm),c≡d(modm),那么ac≡bd(modm)(可乘性)。性质4:若a≡b(modm),那么an≡bn(modm),(其中n为自然数)。性质5:若ac≡bc(modm),(c,m)=1,那么a≡b(modm),(记号(c,m)表示c与m的最大公约数)。例1判定288和214对于模37是否同余,74与20呢?例2求乘积418×814×1616除以13所得的余数。例3求14389除以7的余数。例4四盏灯如图所示组成舞台彩灯,且每30秒钟灯的颜色改变一次,第一次上下两灯互换颜色,第二次左右两灯互换颜色,第三次又上下两灯互换颜色,…,?十位,…上的数码,再设M=++…+,求证:N≡M(mod9)例6求自然数++的个位数字。、b,式子a≡b(mod1)成立,并说出它的含义。、b、c,其中c≥3,a除以c余1,b除以c余2,则ab除以c余多少?,这一年的十月一日是星期几?+被7除的余数。?,被13除余多少?? 问题1:今天是星期日,再过15天就是“六·一”儿童节了,问“六·一”儿童节是星期几? ,一个星期有7天,而15÷7=2…1,即15=7×2+1,所以“六·一”儿童节是星期一。问题2:1993年的元旦是星期五,1994年的元旦是星期几? ,1993年有365天,而365=7×52+1,所以1994年的元旦应该是星期六。问题1、,时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除,“同余”、2中的15与365除以7后,余数都是1,那么我们就说15与365对于模7同余。同余定义:若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为: a≡b(modm).(*) 上式可读作: a同余于b,模m。同余式(*)意味着(我们假设a≥b): a-b=mk,k是整数,即m|(a-b). 例如:①15≡365(mod7),因为365-15=350=7×50。②56≡20(mod9),因为56-20=36=9×4。③90≡0(mod10),因为90-0=90=10×9。由例③我们得到启发,a可被m整除,可用同余式表示为:a≡0(modm)。例如,表示a是一个偶数,可以写 a≡0(mod2) 表示b是一个奇数,可以写 b≡1(mod2) 补充定义:若m(a-b),就说a、b对模m不同余,用式子表示是: ab(modm) 我们书写同余式的方式,使我们想起等式,而事实上,