文档介绍：相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段或得出等角,等边,从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种:一、作平行线例 1. 如图, DABC 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E,且使 AD=AE,DE 延长线与BC 延长线相交于 F,求证: BFCF=BDCEEEBDA CBGDA                CFF证明:过点 C 作 CG//FD 交 AB 于 G小结:本题关键在于 AD=AE 这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法:相似、成比例。例 2. 如图, ABC 中,AB<AC,在 AB、AC 上分别截取 BD=CE,DE,BC 的延长线相交于点 F,证明:AB·DF=AC·EF。分析:证明等积式问题常常化为比例式,再通过相似三角形对应边成比例来证明。欲证AB × DF = AC × EF,需证ABAC=EFDF,而这四条线段所在的两个三角形显然不相似,因而要通过两组三角形相似,运用中间比代换得到,为构造相似三角形,需添加平行线。方法一:过 E 作 EM//AB,交 BC 于点 ,则 EMC∽△ABC(两角对应相等,两三角形相似)。\EMAB=ECAC即EM × AC = AB × EC, \ABAC=EMEC1同理可得DEMF ~ DDBF \EFDF=EMBD ,=    (又 Q BD = EC, \EMECEMBDEMBD为中间比),DF  , \ AB × DF = AC × EF\ABAC=EF方法二:如图,过 D 作 DN//EC 交 BC 于 N则有,DBDN ~ DBAC,\\BDABABAC==DNACBDDN,即BD × AC = AB × DN(比例的基本性质)同理DECF ~ DDNF,EC\\\ECDNBDDNABAC===EFDFECDNEFDF,而BD = EC(已知)(     为中间比),DN, \ AB × DF = AC × EF证: AB × AE + AD × AF = AC  。二、作垂线3. 如图从 ABCD 顶点 C 向 AB 和 AD 的延长线引垂线 CE 和 CF,垂足分别为 E、F,求2FFDCDMCABE    ANBE证明:过 B 作 BM⊥AC 于 M,过 D 作 DN⊥AC 于 N ∴ DABM ∽ DACE∴AMAE=ABAC∴ AB × AE = AC × AM (1)又 DADN ∽ DACF∴ANAF=ADAC∴ AD × AF = AC × AN (2)(1)+(2) AB × AE + AD × AF = AC × AM + AC × AN = AC( AM + AN )2又 DADN @ DBCM∴ AN=CM∴ AB × AE + AD × AF = AC( AM + CM ) = AC2于 F,FG ^ AB 于 G,求证:FG   =CF · BF三、作延长线例 5. 如图,Rt D ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高,E 为 CD 的中点,AE 的延长线交 BC2解析:欲证式即FGBF=CFFG由“三点定形”,ΔBFG 与 ΔCFG 会相似吗?显然不可能。(因为 ΔBFG 为 RtΔ),但由 E 为 CD 的中点,∴可设法构造一个与 ΔBFG 相似的三角形来求解。不妨延长 GF 与 AC 的延长线交于 H则∴AFAEFGED==FGEDFHEC=FHEC又 ED=EC ∴FG=FH 又易证 RtΔCFH∽RtΔGFB∴CFFG=FHBF∴FG·FH=CF·BF∵FG=FH ∴FG2=CF·BF四、作中线例 6 如图, DABC 中,AB⊥AC,AE⊥BC 于 E,D 在 AC 边上,若 BD=DC=EC=1,求AC。解:取 BC 的中点 M,连 AM ∵ AB⊥AC ∴ AM=CM ∴ ∠1=∠C又 BD=DC ∴ ÐDBC = ÐDCB3∴ Ð1 = ÐC = ÐDBC∴ AC ===∴ DMAC ∽ DDBCMC × BCDC12MC∴DCBC 2 (1)ACBC又 DC=1 MC=12BCAE又 RtDAEC ∽ RtDBAC又 ∵ EC=1   ∴DAC 2 = CE × BC = BC (2)由(1)(2)得, AC =12AC 4∴ AC = 3 2BC小结:利用等腰三角形有公共底角,则这两个三角形相似,取 BC 中点 M,构造 DMAC 与DDBC 相似是解题关键练****题、在 ABC 中,D 为 A