文档介绍：正交矩阵百科名片正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵,因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵,这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的,对于复数的矩阵这导致了归一要求。目录定义概述例子基本构造低维度更高维度基本变换性质矩阵性质群性质规范形式数值线性代数利益分解定义概述例子基本构造低维度更高维度基本变换性质矩阵性质群性质规范形式数值线性代数利益分解展开编辑本段定义定义1 n阶实矩阵A称为正交矩阵,如果:A×A′=E(E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”。)若A为正交阵,则下列诸条件是等价的: 1)A是正交矩阵 2)A×A′=E(E为单位矩阵) 3)A′是正交矩阵 4)A的各行是单位向量且两两正交 5)A的各列是单位向量且两两正交 6)(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R 正交矩阵通常用字母Q表示。举例:A=[r11r12r13;r21r22r23;r31r32r33] 则有:r11^2+r12^2+r13^2=r21^2+r22^2+r23^2=r31^2+r32^2+r33^2=1 r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性质正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。在矩阵论中,实数正交矩阵是方块矩阵Q,它的转置矩阵是它的逆矩阵: ,如果正交矩阵的行列式为+1,则我们称之为特殊正交矩阵:编辑本段概述要看出与内积的联系,考虑在n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v。v的长度的平方是vv。如果矩阵形式为Qv的线性变换保持了向量长度,则所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵。反过来也成立:正交矩阵蕴涵了正交变换。但是,线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换,它们没有等价的正交矩阵。有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。n×n正交矩阵形成了一个群,即指示为O(n)的正交群,它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。例如,分子的点群是O(3)的子群。因为浮点版本的正交矩阵有有利的性质,它们是字数值线性代数中很多算法比如QR分解的关键,通过适当的规范化,离散余弦变换(用于MP3压缩)可用正交矩阵表示。编辑本段例子下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。恒等变换。°。针对x轴反射。旋转反演(rotoinversion):轴(0,-3/5,4/5),角度90°。置换坐标轴。编辑本段基本构造低维度最简单的正交矩阵是1×1矩阵[1]和[−1],它们可分别解释为恒等和实数线针对原点的反射。如下形式的2×2矩阵它的正交性要求满足三个方程在考虑第一个方程时,不丢失一般性而设p=cosθ,q=sinθ;因此要么t=−q,u=p要么t=q,u=−p。我们可以解释第一种情况为旋转θ(θ=0是单位矩阵),第二个解释为针对在角θ/2的直线的反射。旋转反射在45°的反射对换x和y;它是置换矩阵,在每列和每行带有一个单一的1(其他都是0): 单位矩阵也是置换矩阵。反射是它自己的逆,这蕴涵了反射矩阵是对称的(等于它的转置矩阵)也是正交的。两个旋转矩阵的积是一个旋转矩阵,两个反射矩阵的积也是旋转矩阵。更高维度不管维度,总是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类,但是对于3×3矩阵和更高维度矩阵要比反射复杂多了。例如, 和表示通过原点的反演和关于z轴的旋转反演(逆时针旋转